Вариант 1. № 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52. Найдите углы при основании этого треугольника. № 2. Найдите градусную меру угла DCE. № 3. Какова градусная мера угла C, изображённого на рисунке? № 4. Докажите, что AB = CD, если известно, что AB || CD и BO = CO.

### Вариант 1 **№ 1.** 1. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3. Пусть угол при основании равен $x$. Тогда: $x + x + 52^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2x = 128^{\circ} \Rightarrow x = 64^{\circ}$. **Ответ: $64^{\circ}$ и $64^{\circ}$.** **№ 2.** 1. Углы $\angle ABK = 48^{\circ}$ и $\angle MKB = 48^{\circ}$ — накрест лежащие при прямых $AD, MF$ и секущей $BK$. Так как они равны, то $AD \parallel MF$. 2. Углы $\angle DCE$ и $\angle CEF$ являются односторонними при параллельных прямых $AD, MF$ и секущей $CF$. Их сумма равна $180^{\circ}$. 3. $\angle DCE = 180^{\circ} - \angle CEF = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ: $75^{\circ}$.** **№ 3.** 1. Рассмотрим $\triangle ADC$: $\angle ADC = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 10^{\circ}) = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$. 2. Углы $\angle ADC$ и $\angle CDB$ — смежные, но по рисунку видно, что точки $A, D, C$ не лежат на одной прямой. Вероятно, нужно рассмотреть внешний угол треугольника или сумму углов. 3. В $\triangle ABC$ сумма углов: $\angle A + ∠ B + \angle C = 180^{\circ}$. Из рисунка: $\angle A = 28^{\circ}$, $\angle B = 72^{\circ}$. 4. $\angle C = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. **Ответ: $80^{\circ}$.** **№ 4.** **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$. 2. $BO = CO$ по условию. 3. $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные. 4. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle OBA = \angle OCD$ как накрест лежащие при секущей $BC$. 5. Следовательно, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 6. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит $AB = CD$. Что и требовалось доказать.