Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos 4x + 6 sin 2x на отрезке [-\pi/2; \pi/2]

Question

Вопрос:

Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos 4x + 6 sin 2x на отрезке [-\pi/2; \pi/2]

$Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos 4x + 6 sin 2x на отрезке [-\pi/2; \pi/2]$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Упростим функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$: $y = 3\cos 4x + 6\sin 2x = 3(1 - 2\sin^2 2x) + 6\sin 2x = 3 - 6\sin^2 2x + 6\sin 2x$. 2. Пусть $t = \sin 2x$. Так как $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $2x \in [-\pi; \pi]$. На этом промежутке значение синуса $t \in [-1; 1]$. Получаем квадратичную функцию: $f(t) = -6t^2 + 6t + 3$. 3. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $t_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-6)} = \frac{1}{2}$. Значение $t = \frac{1}{2}$ входит в промежуток $[-1; 1]$. В этой точке достигается максимум. 4. Наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$ будет достигаться в одной из его границ: $f(-1) = -6 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 3 = -6 - 6 + 3 = -9$ $f(1) = -6 \cdot (1)^2 + 6 \cdot (1) + 3 = -6 + 6 + 3 = 3$ Сравнивая результаты, видим, что наименьшее значение равно $-9$. **Ответ: -9**

Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos 4x + 6 sin 2x на отрезке [-\pi/2; \pi/2]

Ответ ассистента

Другие решения