12. Мальчик без усилий поднимает в воздухе груз массой 10 кг. Какой массой камень поднимет этот мальчик в воде? Плотность камня — 2500 кг/м³.

12. Чтобы найти массу камня в воде, нужно учесть, что в воде на него действует выталкивающая сила Архимеда. Мальчик может поднять груз весом $P = m_{груза} \cdot g = 10 \cdot 10 = 100$ Н (примем $g = 10$ Н/кг). В воде вес камня равен $P_{в} = P_{возд} - F_A$, где $P_{возд} = m_к \cdot g = \rho_к \cdot V_к \cdot g$, а $F_A = \rho_{воды} \cdot V_к \cdot g$. По условию $P_{в} = 100$ Н. Тогда: $100 = V_к \cdot g \cdot (\rho_к - \rho_{воды})$ $100 = V_к \cdot 10 \cdot (2500 - 1000)$ $100 = V_к \cdot 10 \cdot 1500$ $V_к = \frac{100}{15000} = \frac{1}{150}$ м$^3$ Масса камня: $m_к = \rho_к \cdot V_к = 2500 \cdot \frac{1}{150} \approx 16,7$ кг. **Ответ: 16,7 кг**. 13. Вес тела в воздухе: $P_{возд} = m \cdot g = \rho_{меди} \cdot V \cdot g = 8900 \cdot 0,0025 \cdot 10 = 222,5$ Н (плотность меди $\approx 8900$ кг/м$^3$). Выталкивающая сила при погружении на половину объема: $F_A = \rho_{воды} \cdot 0,5V \cdot g = 1000 \cdot 0,00125 \cdot 10 = 12,5$ Н. Показания динамометра: $P = P_{возд} - F_A = 222,5 - 12,5 = 210$ Н. **Ответ: 210 Н**. 14. Сила тяжести нефти и оболочки: $F_{тяж} = (m_{нефти} + m_{об}) \cdot g = (\rho_{нефти} \cdot V + m_{об}) \cdot g = (800 \cdot 250 + 4000) \cdot 10 = 2040000$ Н. Выталкивающая сила: $F_A = \rho_{воды} \cdot V \cdot g = 1030 \cdot 250 \cdot 10 = 2575000$ Н (для морской воды $\rho \approx 1030$ кг/м$^3$). Сила, удерживающая груз: $F_{груза} = F_A - F_{тяж} = 2575000 - 2040000 = 535000$ Н. Масса груза: $m = \frac{F}{g} = 53500$ кг = 53,5 т. **Ответ: 53,5 т**. 15. Изменение выталкивающей силы равно весу снятого груза: $P = F_{A1} - F_{A2} = \rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot \Delta h$. $P = 1000 \cdot 10 \cdot 4000 \cdot 0,2 = 8000000$ Н. Масса груза: $m = \frac{P}{g} = 800000$ кг = 800 т. **Ответ: 800 т**. 16. 1) $F_A = P_{возд} - P_{вода} = 1$ Н. Вес в воде $P_{вода} = 7,8 - 1 = 6,8$ Н. 2) $F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V \Rightarrow V = \frac{F_A}{\rho_{воды} \cdot g} = \frac{1}{1000 \cdot 10} = 0,0001$ м$^3$. 3) $m = \frac{P_{возд}}{g} = \frac{7,8}{10} = 0,78$ кг. 4) $\rho_{тела} = \frac{m}{V} = \frac{0,78}{0,0001} = 7800$ кг/м$^3$. **Ответ: 7800 кг/м$^3$**. 17. На шар действуют: $F_{тяж}$ (вниз), $F_A$ (вверх), $N$ (сила реакции дна, вверх). Шар давит на дно с силой $P = N = \frac{1}{3} F_{тяж}$. Условие равновесия: $F_A + N = F_{тяж} \Rightarrow F_A = F_{тяж} - \frac{1}{3} F_{тяж} = \frac{2}{3} F_{тяж}$. $\rho_{воды} \cdot g \cdot 0,5V = \frac{2}{3} \cdot \rho_{шара} \cdot g \cdot V \Rightarrow 0,5 \rho_{воды} = \frac{2}{3} \rho_{шара}$. $\rho_{шара} = \frac{3 \cdot 0,5 \cdot 1000}{2} = 750$ кг/м$^3$. **Ответ: 750 кг/м$^3$**. 18. Условие плавания: $F_A = F_{тяж} \Rightarrow \rho_{воды} \cdot V_{погр} \cdot g = \rho_{тела} \cdot V_{тела} \cdot g$. $\frac{V_{погр}}{V_{тела}} = \frac{\rho_{тела}}{\rho_{воды}} = 0,75$. Значит, погружено 75% объема. В воздухе находится: $1 - 0,75 = 0,25$ или $\frac{1}{4}$ часть объема. **Ответ: 0,25**.