Дано: прямая CD перпендикулярна плоскости ADB, ∠ADB = 90°. Найти угол между плоскостями ACB и ADC (найдите тангенс угла)

Question

Вопрос:

Дано: прямая CD перпендикулярна плоскости ADB, ∠ADB = 90°. Найти угол между плоскостями ACB и ADC (найдите тангенс угла)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$ ($∠ADB = 90^°$). Проведем высоту $DE$ к гипотенузе $AB$. Так как $CD ⊥ (ADB)$, то по теореме о трех перпендикулярах $CE ⊥ AB$. Следовательно, искомый линейный угол между плоскостями $ACB$ и $ADB$ — это $∠CED$. 2. Пусть $CD = h$. Из треугольников $CAD$ и $CBD$ (они прямоугольные, так как $CD ⊥ AD$ и $CD ⊥ BD$): $AD = CD · \text{ctg}(30^°) = h\sqrt{3}$ $BD = CD · \text{ctg}(45^°) = h · 1 = h$ 3. В прямоугольном треугольнике $ADB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(h\sqrt{3})^2 + h^2} = \sqrt{3h^2 + h^2} = \sqrt{4h^2} = 2h$ 4. Высота $DE$ прямоугольного треугольника $ADB$, опущенная на гипотенузу, вычисляется по формуле: $DE = \frac{AD · BD}{AB} = \frac{h\sqrt{3} · h}{2h} = \frac{h\sqrt{3}}{2}$ 5. В прямоугольном треугольнике $CDE$ ($∠CDE = 90^°$) найдем тангенс угла $CED$: $\text{tg} \angle CED = \frac{CD}{DE} = \frac{h}{\frac{h\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ **Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$**

Дано: прямая CD перпендикулярна плоскости ADB, ∠ADB = 90°. Найти угол между плоскостями ACB и ADC (найдите тангенс угла)

Ответ ассистента

Другие решения