№ 1. Отрезок AB является отрезком касательной к окружности с центром O, где B — точка касания. Найдите длину отрезка AB, если ∠AOB = 45°, а диаметр окружности равен 22 см.

### Задача № 1 1. Касательная $AB$ перпендикулярна радиусу $OB$, проведённому в точку касания, поэтому $\triangle OBA$ — прямоугольный ($\angle OBA = 90^\circ$). 2. Найдём радиус $OB$: $R = d : 2 = 22 : 2 = 11$ см. 3. В прямоугольном $\triangle OBA$: $\angle AOB = 45^\circ$, значит, $\angle OAB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник равнобедренный, $AB = OB = 11$ см. **Ответ: 11 см**. ### Задача № 2 1. По свойству касательных, проведённых из одной точки, $BO$ — биссектриса $\angle ABC$ и $\angle AOC$. Значит, $\angle AOB = \angle AOC : 2 = 60^\circ : 2 = 30^\circ$. 2. В прямоугольном $\triangle OAB$ (где $\angle OAB = 90^\circ$): катет $OA = 10$ см лежит против угла $30^\circ$ в $\triangle OBA$. 3. По свойству катета против угла в $30^\circ$: гипотенуза $BO = 2 \cdot OA = 2 \cdot 10 = 20$ см. **Ответ: 20 см**. ### Задача № 3 1. Равноудалённость точек касания: $AB = AC$, а радиусы $OB = OC$. Треугольники $OBA$ и $OCA$ прямоугольные и равны по гипотенузе и катету. 2. $\angle ABO = 90^\circ$, $\angle ACO = 90^\circ$ (радиус в точку касания). 3. В $\triangle ABC$: $AB = AC$, значит он равнобедренный. $\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - 80^\circ) : 2 = 50^\circ$. 4. $\angle OAC = \angle OAB = 80^\circ : 2 = 40^\circ$ (центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными). 5. $\angle BAC = 80^\circ$ (дано по рисунку). 6. $\angle BOA = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. 7. $\angle AOC = \angle BOA = 50^\circ$. 8. $\angle BOC = \angle BOA + \angle AOC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$. **Ответ: $\angle ABO = 90^\circ, \angle ACO = 90^\circ, \angle OAC = 40^\circ, \angle BAC = 80^\circ, \angle BOA = 50^\circ, \angle AOC = 50^\circ, \angle BOC = 100^\circ$**.