Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Question

Вопрос:

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных к окружности. 1. Касательные $MA$ и $MB$, проведённые из одной точки, равны: $MA = MB = 18$. 2. Треугольник $MAB$ является равнобедренным ($MA = MB$). 3. Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным $MA$ и $MB$ ($∠OAM = ∠OBM = 90^∘$). 4. В четырёхугольнике $AOBM$ сумма углов равна $360^∘$, поэтому: $∠AMB = 360^∘ - 90^∘ - 90^∘ - 120^∘ = 60^∘$. 5. Так как в равнобедренном треугольнике $MAB$ угол при вершине $M$ равен $60^∘$, то углы при основании $A$ и $B$ также равны: $∠MAB = ∠MBA = (180^∘ - 60^∘) / 2 = 60^∘$. 6. Треугольник $MAB$ — равносторонний, так как все его углы равны $60^∘$. 7. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит $AB = MA = 18$. **Ответ: 18**

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найди расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Ответ ассистента

Другие решения