Задачи «Правило умножения»

Для решения этих задач воспользуемся комбинаторным правилом умножения: если объект $A$ можно выбрать $n$ способами, а объект $B$ — $m$ способами, то пару $(A, B)$ можно выбрать $n \cdot m$ способами. 1. На каждую из 5 позиций пятизначного числа можно поставить любую из 3 цифр (2, 4 или 6). $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 = 243$ **Ответ: 243**. 2. Первая цифра: 1, 2 или 3 (3 варианта). Последняя цифра: 4 или 5 (2 варианта). Вторая и третья цифры — любые из 10 (от 0 до 9). $3 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2 = 600$ **Ответ: 600**. 3. Первая цифра: 6 или 7 (2 варианта). Последняя цифра: 6, 7 или 8 (3 варианта). Вторая и третья цифры не могут быть 0, 1, 2, значит, остается $10 - 3 = 7$ вариантов (цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). $2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3 = 294$ **Ответ: 294**. 4. Первая цифра: 1 или 2 (2 варианта). Четвертая цифра: 8 или 9 (2 варианта). Разность между третьей ($a_3$) и второй ($a_2$) цифрой равна 5 ($|a_3 - a_2| = 5$). Пары $(a_2, a_3)$: (0,5), (5,0), (1,6), (6,1), (2,7), (7,2), (3,8), (8,3), (4,9), (9,4) — всего 10 пар. $2 \cdot 10 \cdot 2 = 40$ **Ответ: 40**. 5. Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Нужно составить трехзначные числа $abc$, где $a \le b \le c$. Переберем варианты по первой цифре: - Если $a=1$: пары $bc$ могут быть (1,1), (1,3)...(1,9), (3,3)...(9,9). Это сочетания с повторениями из 5 по 2: $\frac{(5+2-1)!}{2!(5-1)!} = \frac{6!}{2!4!} = 15$. - Если $a=3$: из цифр {3, 5, 7, 9} выбираем 2: $\frac{(4+2-1)!}{2!(4-1)!} = \frac{5!}{2!3!} = 10$. - Если $a=5$: из цифр {5, 7, 9} выбираем 2: $\frac{(3+2-1)!}{2!(3-1)!} = \frac{4!}{2!2!} = 6$. - Если $a=7$: из цифр {7, 9} выбираем 2: $\frac{(2+2-1)!}{2!(2-1)!} = 3$ (77, 79, 99). - Если $a=9$: только (9,9) — 1 вариант. Итого: $15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35$. **Ответ: 35**.