В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √50 и образует угол 45° с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.

Question

Вопрос:

В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √50 и образует угол 45° с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Пусть $d = \sqrt{50}$ — диагональ параллелепипеда, а $\alpha = 45^\circ$ — угол между диагональю и гранью-квадратом. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $d$, её проекцией на грань (диагональю квадрата $d_{осн}$) и боковым ребром $c$: - $c = d \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5$; - $d_{осн} = d \cdot \cos(45^\circ) = \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$. 3. Грань является квадратом со стороной $a$. Диагональ квадрата $d_{осн} = a\sqrt{2}$. $a\sqrt{2} = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{\sqrt{2}}$. 4. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = a^2 \cdot c = (\frac{5}{\sqrt{2}})^2 \cdot 5 = \frac{25}{2} \cdot 5 = 12,5 \cdot 5 = 62,5$. Ответ: 62,5

В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √50 и образует угол 45° с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ ассистента

Другие решения