Контрольная работа №2 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» Вариант 2

**1. Ответ: $6\sqrt{3}$ см.** 1. Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 8$ см. Точка $S$ — точка пересечения диагоналей. В квадрате диагонали равны $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см и делятся точкой пересечения пополам. Значит, расстояние от $S$ до любой вершины (например, $A$) равно $SA = \frac{1}{2} d = 4\sqrt{2}$ см. 2. Отрезок $SM$ перпендикулярен плоскости квадрата, значит, треугольник $MSА$ прямоугольный ($\angle MSA = 90^\circ$). 3. По теореме Пифагора расстояние до вершины $MА$: $MA = \sqrt{MS^2 + SA^2} = \sqrt{10^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 32} = \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2\sqrt{33}$ см. **Допущение:** В условии задачи 1 опечатка в итоговом вопросе (обычно спрашивают расстояние до вершин, во множественном числе). Расстояние до всех вершин квадрата от точки $M$ будет одинаковым. **2. Ответ: $4\sqrt{5}$ см.** 1. Проведем высоту $AK$ в равнобедренном $\triangle ABC$. Так как $AB=AC$, то $AK$ также является медианой, значит $BK = KC = \frac{1}{2} BC = 8$ см. 2. Из прямоугольного $\triangle ABK$ по теореме Пифагора: $AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. 3. Так как $AD \perp (ABC)$, то $AD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AK$ ($AD \perp AK$). Расстояние от $D$ до прямой $BC$ — это длина наклонной $DK$ (по теореме о трех перпендикулярах, так как $AK \perp BC$, то и $DK \perp BC$). 4. Из прямоугольного $\triangle DAK$: $DK = \sqrt{AD^2 + AK^2} = \sqrt{8^2 + (\sqrt{80})^2} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12$ см. **3. Решение:** 1. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Рассмотрим $\triangle CBD$. Это равносторонний треугольник. Т.к. $E$ — середина $BD$, то $CE$ — медиана и высота, значит $CE \perp BD$. 2. Аналогично в равностороннем $\triangle ABD$ отрезок $AE$ — медиана и высота, значит $AE \perp BD$. 3. Т.к. $CE \perp BD$ и $AE \perp BD$, то по определению линейного угла двугранного угла, $\angle AEC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BD$ (между гранями $CBD$ и $ABD$). Что и требовалось доказать. **4. Ответ: $d = 3\sqrt{30}$ см; $\cos \alpha = \frac{\sqrt{30}}{9}$.** 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — его измерения. $d = \sqrt{8^2 + 10^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 100 + 196} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$ см. 2. Угол между диагональю и нижней гранью — это угол $\alpha$ между диагональю $d$ и диагональю основания $d_{осн}$. $d_{осн} = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$ см. 3. Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{d_{осн}}{d} = \frac{2\sqrt{41}}{6\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{41}}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{410}}{30}$.