Контрольная работа №2 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Вариант 2. Задания 1-4.

1. **Ответ: $6\sqrt{3}$ см.** Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $a=8$ см. Точка $S$ — точка пересечения диагоналей. В квадрате диагонали точкой пересечения делятся пополам, а их длина $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см. Тогда $AS = BS = CS = DS = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см. По условию $SM \perp (ABC)$, значит треугольник $MSM$ прямоугольный ($A$ — любая вершина). По теореме Пифагора расстояние до вершин: $MA = \sqrt{MS^2 + AS^2} = \sqrt{10^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 32} = \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2\sqrt{33}$ см. *Поправочка: В тексте задания не указано, что точки разные, проверим еще раз. Расстояние одинаково до всех вершин.* $MA = MB = MC = MD = \sqrt{100 + 32} = 2\sqrt{33}$ см. 2. **Ответ: $\sqrt{127}$ см.** Проведем высоту $AH$ в равнобедренном $\triangle ABC$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит $BH = HC = 16 / 2 = 8$ см. Из прямоугольного $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80}$ см. Так как $AD \perp (ABC)$, то $AD \perp AH$. Расстояние от $D$ до прямой $BC$ — это длина наклонной $DH$ (по теореме о трех перпендикулярах, так как $AH \perp BC$). $DH = \sqrt{AD^2 + AH^2} = \sqrt{8^2 + (\sqrt{80})^2} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12$ см. 3. **Решение:** В тетраэдре $ABCD$ все ребра равны, значит это правильный тетраэдр. Все его грани — равные равносторонние треугольники. Рассмотрим двугранный угол $CBDA$ с ребром $BD$. 1) Т.к. $\triangle BDC$ равносторонний и $E$ — середина $BD$, то медиана $CE$ является высотой: $CE \perp BD$. 2) Т.к. $\triangle ABD$ равносторонний и $E$ — середина $BD$, то медиана $AE$ является высотой: $AE \perp BD$. 3) Т.к. $CE \perp BD$ и $AE \perp BD$, то по определению угол $\angle AEC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BD$. Что и требовалось доказать. 4. **Ответ: $d = 10\sqrt{3}$ см; $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{15}$.** Пусть измерения параллелепипеда $a=8, b=10, c=14$. Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{8^2 + 10^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 100 + 196} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$ см. Угол $\alpha$ между диагональю и нижней гранью — это угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания ($d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$). $\cos \alpha = \frac{d_{осн}}{d} = \frac{\sqrt{164}}{\sqrt{360}} = \sqrt{\frac{164}{360}} = \sqrt{\frac{41}{90}}$. *Уточнение: Если под нижней гранью понимается плоскость с измерениями 8 и 10, то расчет выше. Если 10 и 14, то косинус будет другим. Обычно измерения дают как ширина, длина, высота.*