Вычислите медианы треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.

Ответ: медианы треугольника равны $\sqrt{145}$ см, $\sqrt{145}$ см и $\sqrt{40}$ (или $2\sqrt{10}$) см. Для решения задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника через его стороны $a$, $b$ и $c$: $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$. Пусть стороны треугольника $a = 25$ см, $b = 25$ см, $c = 14$ см. 1. Найдём медиану $m_a$ (к стороне $a = 25$): $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 25^2 + 2 \cdot 14^2 - 25^2}$ $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{625 + 2 \cdot 196} = \frac{1}{2} \sqrt{625 + 392} = \frac{1}{2} \sqrt{1017}$ Однако, так как треугольник равнобедренный ($25, 25, 14$), проще найти медианы к боковым сторонам и основанию по отдельности. 2. Найдём медиану к основанию $c = 14$ см (она же является высотой): По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного медианой: $m_c = \sqrt{25^2 - (14/2)^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ см. 3. Найдём медианы к боковым сторонам ($a = 25, b = 25$): $m_a = m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 25^2 + 2 \cdot 14^2 - 25^2} = \frac{1}{2} \sqrt{625 + 392} = \frac{1}{2} \sqrt{1017}$ см. **Допущение:** В условии задачи №2 II уровня указаны стороны 25 см, 25 см и 14 см. Проверим расчет еще раз. Если стороны $a=25, b=25, c=14$: $m_c = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24$ см. $m_a = m_b = 0,5 \cdot \sqrt{2 \cdot 25^2 + 2 \cdot 14^2 - 25^2} = 0,5 \cdot \sqrt{1250 + 392 - 625} = 0,5 \cdot \sqrt{1017} \approx 15,9$ см. Если же в задаче №2 III уровня (нижнее задание): стороны 13 см, 13 см, 10 см. 1. Медиана к основанию (10 см): $m_{10} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. 2. Медианы к боковым сторонам (13 см): $m_{13} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 13^2 + 2 \cdot 10^2 - 13^2} = \frac{1}{2} \sqrt{169 + 200} = \frac{1}{2} \sqrt{369} = \frac{3}{2} \sqrt{41}$ см.