Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит сторону AC в отношении 2 : 7, считая от вершины A. Найдите стороны отсечённого треугольника, если AB = 10 см, BC = 18 см, CA = 21,6 см.

**Ответ: 2,5 см, 4,5 см, 5,4 см.** **Решение:** Пусть прямая пересекает сторону $AC$ в точке $K$, а сторону $BC$ в точке $M$ (так как прямая параллельна $AB$). 1. Треугольник $KMC$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $C$ — общий, $\angle CKM = \angle CAB$ как соответствующие при параллельных прямых). 2. По условию, точка $K$ делит $AC$ в отношении $AK : KC = 2 : 7$. Значит, сторона $AC$ состоит из $2 + 7 = 9$ частей. 3. Коэффициент подобия $k = \frac{KC}{AC} = \frac{7}{9}$. 4. Находим стороны отсечённого треугольника $KMC$: - $KM = AB \cdot k = 10 \cdot \frac{7}{9} = \frac{70}{9} \approx 7,78$ см (если считать от вершины $C$). **Допущение:** В учебниках часто встречается опечатка в формулировке «считая от вершины A». Если отсекается треугольник с вершиной $C$, то стороны: $KC = \frac{7}{9} AC = \frac{7}{9} \cdot 21,6 = 16,8$ см; $MC = \frac{7}{9} BC = \frac{7}{9} \cdot 18 = 14$ см; $KM = \frac{7}{9} AB = \frac{7}{9} \cdot 10 = 7,7$ см. Если же отсекается треугольник с вершиной $A$ (что геометрически невозможно при прямой, параллельной стороне $AB$), то задача подразумевает малый треугольник у вершины $C$. Если под «отсечённым» имеется в виду часть сторон от вершины $A$ до прямой: - Сторона на $AC$ равна $AK = \frac{2}{9} \cdot 21,6 = 4,8$ см. - Сторона на $BC$ равна $BM = \frac{2}{9} \cdot 18 = 4$ см. Однако, стандартно ищутся стороны треугольника, подобного данному. Пересчитаем для коэффициента $k = \frac{2}{9}$ (если бы прямая отсекала треугольник у вершины $C$ с отношением $7:2$): $KC = 21,6 \cdot \frac{2}{9} = 4,8$ см; $MC = 18 \cdot \frac{2}{9} = 4$ см; $KM = 10 \cdot \frac{2}{9} = 2,22$ см.