610 Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит сторону AC в отношении 2:7, считая от вершины A. Найдите стороны отсечённого треугольника, если AB=10 см, BC=18 см, CA=21,6 см. 611 Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне BC, концы которого лежат на сторонах AB и AC.

**610** Ответ: $AC_1 = 4,8$ см; $AB_1 = 2,2$ см; $B_1C_1 = 4$ см. **Решение:** Пусть прямая, параллельная стороне $AB$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно (или наоборот, согласно условию подобия). 1. Т.к. прямая параллельна стороне $AB$, то отсечённый треугольник $\triangle B_1 C_1 C$ подобен исходному $\triangle ABC$ (по двум углам). 2. Из условия $AC$ делится в отношении $2:7$ от вершины $A$. Пусть $AC = 21,6$ см. Точка $C_1$ делит $AC$ так, что $AC_1 : C_1C = 2:7$. 3. Найдём части: $2 + 7 = 9$ частей. Одна часть равна $21,6 : 9 = 2,4$ см. 4. Тогда стороны отсечённого треугольника: $AC_1 = 2 \cdot 2,4 = 4,8$ см. $C_1C = 7 \cdot 2,4 = 16,8$ см. 5. Коэффициент подобия $k = \frac{C_1C}{AC} = \frac{16,8}{21,6} = \frac{7}{9}$. 6. Стороны отсечённого треугольника: $B_1C = BC \cdot k = 18 \cdot \frac{7}{9} = 14$ см. Значит, $BB_1 = 18 - 14 = 4$ см. $B_1C_1 = AB \cdot k = 10 \cdot \frac{7}{9} = \frac{70}{9} \approx 7,78$ см. **611** **Доказательство:** 1. Пусть отрезок $EF$ параллелен стороне $BC$, где $E$ лежит на $AB$, а $F$ — на $AC$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle AEF$ и $\triangle ABC$. Они подобны по двум углам (угол $A$ общий, $\angle AEF = ∠ ABC$ как соответственные при $EF \parallel BC$). 3. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ пересекает отрезок $EF$ в точке $K$. 4. Из подобия $\triangle AEK \sim \triangle ABM$ (по двум углам): $\frac{EK}{BM} = \frac{AK}{AM}$. 5. Из подобия $\triangle AFK \sim \triangle ACM$ (по двум углам): $\frac{KF}{MC} = \frac{AK}{AM}$. 6. Следовательно, $\frac{EK}{BM} = \frac{KF}{MC}$. 7. Так как $AM$ — медиана, то $BM = MC$. 8. Из равенства знаменателей следует равенство числителей: $EK = KF$. Что и требовалось доказать: точка $K$ является серединой отрезка $EF$.