Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно 3 см.

Ответ: 72 см² Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис), $SO$ — высота пирамиды. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $AM$ — медиана и высота основания, а $SM$ — апофема боковой грани. 1. Линейный угол двугранного угла при основании — это $\angle SMO = 60^{\circ}$. 2. Пусть $K$ — середина высоты $SO$. Из точки $K$ опустим перпендикуляр $KH$ на апофему $SM$. По условию $KH = 3$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный $\triangle SOM$. В нем $KH$ — отрезок, параллельный высоте основания $OM$ (если опускать из $O$), но здесь удобнее рассмотреть подобие треугольников. $\triangle SKH \sim \triangle SOM$ (по общему острому углу $S$). $\sin(\angle OSM) = \frac{KH}{SK}$. Так как $\angle SMO = 60^{\circ}$ в прямоугольном $\triangle SOM$, то $\angle OSM = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 4. Тогда $SK = \frac{KH}{\sin 30^{\circ}} = \frac{3}{0,5} = 6$ см. Так как $K$ — середина $SO$, то высота пирамиды $SO = 2 \cdot SK = 12$ см. 5. Из $\triangle SOM$: $SM = \frac{SO}{\sin 60^{\circ}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см (апофема). $OM = SO \cdot \text{ctg } 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. 6. В правильном треугольнике $ABC$ радиус вписанной окружности $r = OM = 4\sqrt{3}$ см. Формула радиуса: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона основания. $a = r \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 24$ см. 7. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot SM$: $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 24 = 72$ см. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 8\sqrt{3}$ — *стоп, проверим расчет через косинус угла*. Допущение: более простой способ связи через проекцию. $S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos 60^{\circ}$. $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{24^2\sqrt{3}}{4} = \frac{576\sqrt{3}}{4} = 144\sqrt{3}$ см². $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos 60^{\circ}} = \frac{144\sqrt{3}}{0,5} = 288\sqrt{3}$ см². Пересчитаем $S_{бок}$ по формуле через апофему: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 8\sqrt{3} = 36 \cdot 8\sqrt{3} = 288\sqrt{3}$ см².