Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если расстояние от центра основания до середины апофемы боковой грани равно √3. В ответ введите результат, поделённый на √3.

1. Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Точка $O$ — центр основания. $SK$ — апофема боковой грани $SBC$, где $K$ — середина $BC$. $OK$ — проекция апофемы на плоскость основания. 2. Угол $\angle SKO = 60^\circ$ — линейный угол двугранного угла при основании. В прямоугольном $\triangle SOK$: $SO = OK \cdot \tan 60^\circ = OK \sqrt{3}$, $SK = \frac{OK}{\cos 60^\circ} = 2OK$. 3. Пусть $M$ — середина апофемы $SK$. По условию расстояние от $O$ до $M$ равно $\sqrt{3}$. В $\triangle SOK$ отрезок $OM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $SK$. В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы: $OM = \frac{1}{2} SK = OK$. Следовательно, $OK = \sqrt{3}$. 4. Найдем длину стороны основания $a$. В правильном треугольнике $ABC$ радиус вписанной окружности $r = OK = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. $\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 6$. 5. Найдем апофему $SK$: $SK = 2OK = 2\sqrt{3}$. 6. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}$: $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 6) \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$. 7. По условию нужно ввести результат, поделённый на $\sqrt{3}$: $\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18$. **Ответ: 18**