AB и BC - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O радиуса 10 см. Найдите периметр четырехугольника ABCO, если ∠AOC = 120°.

**Ответ: $20(1 + \sqrt{3})$ см** **Решение:** 1. Рассмотрим четырехугольник $ABCO$. По условию $AB$ и $BC$ — отрезки касательных. По свойству касательных, проведенных из одной точки, $AB = BC$. 2. Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, значит, $OA = OC = 10$ см. 3. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому $\angle OAB = \angle OCB = 90^\circ$. 4. Проведем луч $OB$. Он является биссектрисой угла $AOC$, так как центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными. Тогда $\angle AOB = \angle COB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$. 5. В прямоугольном треугольнике $OAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $AB = OA \cdot \operatorname{tg}(\angle AOB) = 10 \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 10\sqrt{3}$ см. 6. Так как $AB = BC$, то $BC = 10\sqrt{3}$ см. 7. Периметр $P_{ABCO} = AB + BC + CO + OA = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} + 10 + 10 = 20\sqrt{3} + 20 = 20(1 + \sqrt{3})$ см.