1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 5 см, а диагональ боковой грани равна 13 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 60° и меньшей диагональю 6 см. Площадь боковой поверхности призмы 72√3 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и большую диагональ основания.

1. **Ответ: $S_{бок} = 180$ см², $S_{полн} = 180 + 72\sqrt{3}$ см².** Дано: правильная треугольная призма, боковое ребро (высота $h$) = 5 см, диагональ боковой грани ($d$) = 13 см. 1) Боковая грань — прямоугольник. По теореме Пифагора найдём сторону основания ($a$): $a^2 + h^2 = d^2$ $a^2 + 5^2 = 13^2$ $a^2 = 169 - 25 = 144$ $a = 12$ см. 2) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3 \cdot a) \cdot h = (3 \cdot 12) \cdot 5 = 180$ см². 3) Площадь основания (правильный треугольник): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см². 4) Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 180 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = 180 + 72\sqrt{3}$ см². 2. **Ответ: $S_{сеч} = 18\sqrt{3}$ см².** Дано: прямая призма, в основании ромб, $\alpha = 60^{\circ}$, меньшая диагональ $d_1 = 6$ см, $S_{бок} = 72\sqrt{3}$ см². 1) В ромбе с углом $60^{\circ}$ меньшая диагональ разбивает его на два равносторонних треугольника. Следовательно, сторона ромба $a = d_1 = 6$ см. 2) Большая диагональ ромба ($d_2$) вычисляется через сторону и угол: $d_2 = 2 \cdot a \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. 3) Из площади боковой поверхности найдём высоту призмы ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h$ $72\sqrt{3} = 4 \cdot 6 \cdot h$ $24h = 72\sqrt{3}$ $h = 3\sqrt{3}$ см. 4) Сечение, проходящее через боковое ребро и большую диагональ основания, является прямоугольником со сторонами $d_2$ и $h$: $S_{сеч} = d_2 \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54$ см². **Допущение:** В пункте 2 в вычислении итоговой площади сечения произошла ошибка в логике умножения корней в уме. Исправляем: $6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54$. **Корректный ответ 2:** $54$ см².