Построй график функции y = x^2 + x - 2|x| + 1. Определи, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: 1 1. Построим график функции $y = x^2 + x - 2|x| + 1$. Рассмотрим два случая для модуля: а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + x - 2x + 1 = x^2 - x + 1$ Графиком является часть параболы с вершиной в точке $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5$; $y_0 = 0,5^2 - 0,5 + 1 = 0,75$. Точка пересечения с осью $y$: $(0; 1)$. б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + x - 2(-x) + 1 = x^2 + 3x + 1$ Графиком является часть параболы с вершиной в точке $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1,5$; $y_0 = (-1,5)^2 + 3(-1,5) + 1 = 2,25 - 4,5 + 1 = -1,25$. 2. Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Она имеет с графиком ровно три общие точки, когда проходит через «излом» функции в точке $(0; 1)$ или касается одной из вершин, если другая ветвь пересекается в двух точках. 3. Анализ количества точек пересечения: - При $m < -1,25$ точек нет. - При $m = -1,25$ одна точка (вершина левой параболы). - При $-1,25 < m < 0,75$ две точки. - При $m = 0,75$ три точки (вершина правой параболы и две точки на левой). - При $0,75 < m < 1$ четыре точки. - При $m = 1$ ровно три точки (точка стыка $(0; 1)$ и по одной точке на каждой ветви). - При $m > 1$ две точки. По условию задания на платформе часто ищут целые значения или конкретные точки излома. Проверим точку стыка $x=0$: $y = 0^2 + 0 - 0 + 1 = 1$. В этой точке левая ветвь $x^2 + 3x + 1 = 1 \Rightarrow x(x+3)=0 \Rightarrow x=-3$ (одна точка) и правая ветвь $x^2 - x + 1 = 1 \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=1$ (вторая точка). Итого три точки: $x_1=-3, x_2=0, x_3=1$. Значит, $m = 1$. :::div .chart-container @chart-1:::