634. Решите уравнение: а) (3x+1)/(x+2) - (x-1)/(x-2) = 1;

Ответ: $x = 4$. Решение: 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ 2. Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$: $\frac{(3x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 1$ 3. Раскроем скобки в числителе: $(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = (x + 2)(x - 2)$ $3x^2 - 5x - 2 - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$ $3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$ $2x^2 - 6x = x^2 - 4$ 4. Перенесём все слагаемые в левую часть: $2x^2 - x^2 - 6x + 4 = 0$ $x^2 - 6x + 4 = 0$ 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$ **Допущение:** На изображении в правой части уравнения стоит единица ($1$). Однако, в школьных учебниках (например, Макарычев, 8 класс, №634а) это уравнение часто выглядит так: $\frac{3x+1}{x+2} - ı\frac{x-1}{x-2} = 1$. Если же в уравнении была опечатка и после знака равно стоит нуль или иное число, ход решения сохранится. Проверь условие в учебнике. Если решать уравнение в виде $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 0$, то: $(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = 0$ $2x^2 - 6x = 0$ $2x(x - 3) = 0$ $x_1 = 0, x_2 = 3$. Если решать строго по фото (с единицей): $x = 3 \pm \sqrt{5}$