Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

**Доказательство:** 1. По условию $AM$ — медиана, значит, она делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 2. Также по условию медиана $AM$ равна половине стороны $BC$: $AM = \frac{1}{2} BC$. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $AM = BM = MC$. 4. Рассмотрим $\triangle ABM$: так как $AM = BM$, треугольник равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: $\angle MAB = \angle B$. 5. Рассмотрим $\triangle ACM$: так как $AM = MC$, треугольник равнобедренный. Следовательно, $\angle MAC = \angle C$. 6. Угол $A$ треугольника $ABC$ равен сумме углов $\angle MAB$ и $\angle MAC$: $\angle A = \angle B + \angle C$. 7. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. 8. Заменим сумму $(\angle B + \angle C)$ на $\angle A$: $\angle A + \angle A = 180^{\circ}$ $2\angle A = 180^{\circ}$ $\angle A = 90^{\circ}$. Так как один из углов треугольника равен $90^{\circ}$, $\triangle ABC$ — прямоугольный. Что и требовалось доказать.