Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 7 см и 25 см. Найдите: синус угла, противолежащего большему катету; косинус угла, противолежащего большему катету; тангенс угла, прилежащего к меньшему катету.

**Допущение: В первом задании пропущенные слова — «катет и гипотенуза».** 1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 7 см и 25 см. Найдите: синус угла, противолежащего большему катету; косинус угла, противолежащего большему катету; тангенс угла, прилежащего к меньшему катету. **Ответ:** $\sin \alpha = 0,96$; $\cos \alpha = 0,28$; $\text{tg} \beta = 3,43$. **Решение:** Пусть $a = 7$ см, $c = 25$ см. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ см. Больший катет $b = 24$, меньший $a = 7$. Пусть $\alpha$ — угол против катета $b$, $\beta$ — угол против катета $a$ (прилежащий к $b$). 1) $\sin \alpha = \frac{b}{c} = \frac{24}{25} = 0,96$ 2) $\cos \alpha = \frac{a}{c} = \frac{7}{25} = 0,28$ 3) Тангенс угла, прилежащего к меньшему катету (это угол $\alpha$): $\text{tg} \alpha = \frac{b}{a} = \frac{24}{7} \approx 3,43$ 2. Найдите значение выражения: 1) $\text{tg}^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ$; 2) $2\cos^2 30^\circ - \text{ctg} 45^\circ$. **Ответ:** 1) $3,75$; 2) $0,5$. **Решение:** 1) $(\sqrt{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 + \frac{3}{4} = 3,75$ 2) $2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = 1,5 - 1 = 0,5$ 3. Найдите $\sin \alpha, \text{tg} \alpha$ и $\text{ctg} \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. **Ответ:** $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}; \text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}; \text{ctg} \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$. **Решение:** $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ $\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 4. Найдите $\sin \alpha, \cos \alpha$ и $\text{ctg} \alpha$, если $\text{tg} \alpha = 4$. **Ответ:** $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}; \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}; \text{ctg} \alpha = 0,25$. **Решение:** $\text{ctg} \alpha = \frac{1}{4} = 0,25$ Из тождества $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $1 + 16 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{17} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}$ $\sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$ 5. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а высота, проведенная к основанию, — 15 см. Найдите синус угла при основании треугольника. **Ответ:** $\sin \alpha = \frac{15}{17} \approx 0,88$. **Решение:** Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам: $8$ см. Найдем боковую сторону (гипотенузу) $l = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см. $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{15}{17}$. 6. В равнобокой трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 5$ см, $BC = 7$ см, $AD = 17$ см. Найдите углы трапеции. **Ответ:** $0$ и $180$ не подходят. Углы: $\approx 0$ (невозможная трапеция с такими данными). **Допущение:** В условии опечатка в числах, так как при $AD=17$ и $BC=7$ проекция боковой стороны должна быть $(17-7)/2 = 5$. Если катет $5$ и гипотенуза $5$, треугольник вырождается. Если допустить, что $AD=13$, то $\cos A = \frac{13-7}{2 \cdot 5} = \frac{3}{5} = 0,6 \Rightarrow A = 53^\circ$.