Найти первообразную, график которой проходит через заданную точку.

1. Найти первообразную, график которой проходит через точку $A$: **Левый столбец:** а) $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $A(-1; 1)$ **Ответ:** $F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7$ 1. Общий вид первообразной: $F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = x^3 - x^2 + 4x + C$. 2. Подставим координаты точки $A(-1; 1)$: $1 = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C \Rightarrow 1 = -1 - 1 - 4 + C \Rightarrow C = 7$. б) $f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$, $A(-1; 4)$ **Ответ:** $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$ 1. Общий вид первообразной: $F(x) = \int (4x + x^{-2}) dx = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$. 2. Подставим $A(-1; 4)$: $4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \Rightarrow 4 = 2 + 1 + C \Rightarrow C = 1$. в) $f(x) = \sin 2x$, $A(\frac{\pi}{4}; -2)$ **Ответ:** $F(x) = -0,5\cos 2x - 2$ 1. Общий вид первообразной: $F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$. 2. Подставим $A(\frac{\pi}{4}; -2)$: $-2 = -0,5\cos(\frac{\pi}{2}) + C \Rightarrow -2 = 0 + C \Rightarrow C = -2$. **Правый столбец:** а) $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $A(0; 2)$ **Ответ:** $F(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$ 1. Общий вид первообразной: $F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx = 2x^2 - 2x^3 + x + C$. 2. Подставим $A(0; 2)$: $2 = 0 - 0 + 0 + C \Rightarrow C = 2$. б) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 10x^4 + 3$, $A(1; 5)$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + 5$ 1. Общий вид первообразной: $F(x) = \int (x^{-2} - 10x^4 + 3) dx = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + C$. 2. Подставим $A(1; 5)$: $5 = -1 - 2 + 3 + C \Rightarrow 5 = 0 + C \Rightarrow C = 5$. в) $f(x) = \sqrt{2}\cos x$, $A(\frac{\pi}{4}; 2)$ **Ответ:** $F(x) = \sqrt{2}\sin x + 1$ 1. Общий вид первообразной: $F(x) = \int \sqrt{2}\cos x dx = \sqrt{2}\sin x + C$. 2. Подставим $A(\frac{\pi}{4}; 2)$: $2 = \sqrt{2} \cdot \sin\frac{\pi}{4} + C \Rightarrow 2 = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C \Rightarrow 2 = 1 + C \Rightarrow C = 1$.