На рисунке дан куб. Укажите взаимное расположение прямых: а) CC1 и BD; б) A1D1 и BC.

**1.** а) $CC_1$ и $BD$ — **скрещивающиеся**. Прямая $CC_1$ вертикальна, а $BD$ лежит в горизонтальной плоскости основания $ABCD$. Они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. б) $A_1D_1$ и $BC$ — **параллельные**. $A_1D_1 \parallel AD$ (противоположные стороны грани куба), а $AD \parallel BC$. Следовательно, $A_1D_1 \parallel BC$. **2.** Прямые, проходящие через точку $A_1$ и скрещивающиеся с $CC_1$: 1) $A_1B_1$ (лежит в верхней плоскости, не пересекает $CC_1$ и не параллельна ей); 2) $A_1D_1$ (лежит в верхней плоскости, не пересекает $CC_1$ и не параллельна ей); 3) $A_1C_1$ — **не подходит**, так как пересекает $CC_1$ в точке $C_1$. Исправим: выберем прямые, не лежащие в одной плоскости с $CC_1$: $A_1B_1$, $A_1D_1$, $A_1B$. **Ответ:** $A_1B_1, A_1D_1, A_1B$. **3.** **Ответ:** 24 см **Решение:** Рассмотрим $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$. Так как $CC_1 \parallel BB_1$, эти треугольники подобны по двум углам. По условию $C$ — середина $AB$, значит $AC = \frac{1}{2} AB$, или коэффициент подобия $k = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$. Из подобия: $\frac{CC_1}{BB_1} = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$. $BB_1 = 2 \cdot CC_1 = 2 \cdot 12 = 24$ см. **4.** **Ответ:** 4 см **Решение:** При параллельном проектировании отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ образуется прямоугольная трапеция $AA_1B_1B$ (если $A$ и $B$ по одну сторону от плоскости). $CC_1$ — её средняя линия, так как $C$ — середина $AB$ и $CC_1$ параллельна основаниям $AA_1$ и $BB_1$. По свойству средней линии трапеции: $CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$. $9 = \frac{AA_1 + 14}{2}$ $18 = AA_1 + 14$ $AA_1 = 18 - 14 = 4$ см.