На рисунке дан куб. Укажите взаимное расположение прямых: а) CC1 и BD; б) A1D1 и BC.

**1. Ответ: a) Скрещивающиеся; б) Параллельные.** Решение: а) Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $DCC_1$, а прямая $BD$ пересекает эту плоскость в точке $D$, не лежащей на $CC_1$. По признаку скрещивающихся прямых они скрещиваются. б) Ребра $A_1D_1$ и $BC$ параллельны, так как $A_1D_1 \parallel AD$ и $AD \parallel BC$ (свойства граней куба). **2. Ответ: $A_1B_1$, $A_1D_1$, $A_1C$.** Решение: Прямые должны проходить через $A_1$ и не пересекать $CC_1$, а также не быть ей параллельными. Ребра $A_1B_1$ и $A_1D_1$ скрещиваются с $CC_1$. Диагональ грани $A_1C$ также будет скрещивающейся с $CC_1$. **3. Ответ: $BB_1 = 24$ см.** Решение: Рассмотрим подобные треугольники $ACC_1$ и $ABB_1$ (по двум углам: $\angle A$ общий, $\angle ACC_1 = \angle ABB_1$ как соответственные при $CC_1 \parallel BB_1$). Так как $C$ — середина $AB$, то $AB = 2 \cdot AC$. Коэффициент подобия $k = \frac{AB}{AC} = 2$. $BB_1 = k \cdot CC_1 = 2 \cdot 12 = 24$ см. **4. Ответ: $AA_1 = 4$ см.** Решение: Фигура $AA_1B_1B$ — прямоугольная трапеция (или просто трапеция, так как прямые параллельны). $CC_1$ — её средняя линия, так как $C$ — середина $AB$ и $CC_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1$. По свойству средней линии трапеции: $CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$ $9 = \frac{AA_1 + 14}{2}$ $18 = AA_1 + 14$ $AA_1 = 18 - 14 = 4$ см.