В треугольнике ABC провели медиану BE. Найдите угол ABC, если AB = 2BE, ∠CBE = 2∠ABE.

**Ответ: 90^\circ** **Решение:** 1. Пусть $\angle ABE = \alpha$. Тогда по условию $\angle CBE = 2\alpha$. 2. Продлим медиану $BE$ за точку $E$ на отрезок $ED = BE$. Получим параллелограмм $ABCD$, так как диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $E$ делятся пополам. 3. В параллелограмме противоположные стороны равны ($CD = AB$) и параллельны ($AB \parallel CD$). 4. Из параллельности прямых следует, что накрест лежащие углы равны: $\angle BDC = \angle ABD = \alpha$. 5. Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию $AB = 2BE$, а так как $BD = BE + ED = 2BE$, то $AB = BD$. Поскольку $CD = AB$, то и $CD = BD$. 6. Треугольник $BCD$ — равнобедренный с основанием $BC$. Углы при основании равны: $\angle BCD = \angle CBD = 2\alpha$. 7. Сумма углов в $\triangle BCD$: $\angle BDC + \angle BCD + \angle CBD = 180^\circ$ $\alpha + 2\alpha + 2\alpha = 180^\circ$ $5\alpha = 180^\circ$ $\alpha = 36^\circ$ 8. Искомый угол $ABC = \angle ABE + \angle CBE = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$. $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$. **Допущение:** В некоторых подобных задачах с таким условием ответ может зависеть от конфигурации. Перепроверим логику: если $CD=BD$, то углы при основании $BC$ равны. $\angle D = \alpha$, тогда $2\alpha + 2\alpha + \alpha = 180^\circ \implies \alpha = 36^\circ$. Угол $ABC = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$. Однако, если в условии подразумевается прямоугольный треугольник, проверим вариант $90^\circ$: если $ABC=90^\circ$, то $\alpha=30^\circ$, $2\alpha=60^\circ$. Тогда медиана в прямоугольном треугольнике не будет удовлетворять условию $AB=2BE$ (так как $BE$ была бы равна половине гипотенузы, а не катета). Следовательно, расчет $108^\circ$ верен для данной геометрии. **Ответ: 108^\circ**