Из точки А на плоскость α опущен перпендикуляр АВ и наклонная АК. АК=5 см, проекция равна 3 см. Найти АВ.

1. **Ответ: 4 см** В прямоугольном треугольнике $ABK$ (где $\angle B = 90^\circ$): $AB = \sqrt{AK^2 - BK^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ (см). 2. **Ответ: $4\sqrt{3}$ см** Проекция $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ (см). 3. **Допущение: точки B и Д лежат по одну сторону от плоскости, а АС — это расстояние между основаниями перпендикуляров.** **Ответ: $\sqrt{13}$ см** Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABDC$ (или прямоугольник, если перпендикуляры равны). $BD = \sqrt{AC^2 + (AB - DC)^2} = \sqrt{2^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ (см). *Примечание: Если AC — это гипотенуза в другом треугольнике, уточните условие. При стандартном расположении $BD = \sqrt{2^2 + (5-3)^2} = 2\sqrt{2}$.* 4. **Ответ: $6\sqrt{3}$ см** В $\triangle PMK$ ($\angle M = 90^\circ$): $KM = PK \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ (см). 5. **Ответ: $25\sqrt{3}$ см** Диагональ куба вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$, где $a$ — ребро куба. $AC_1 = 25\sqrt{3}$ (см).