Решите уравнение: а) 6/(x+1) = (x^2-5x)/(x+1); Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления...

1. **Решите уравнение:** a) **Ответ: $x = 6$** $\\ \frac{6}{x+1} = \frac{x^2 - 5x}{x+1}$ \\ Общий знаменатель $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. \\ Приравняем числители: \\ $6 = x^2 - 5x$ \\ $x^2 - 5x - 6 = 0$ \\ По теореме Виета: \\ $x_1 = 6$ \\ $x_2 = -1$ (не подходит по условию $x \neq -1$) b) **Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -2/3$** $\\ \frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x + 3}{3}$ \\ ОДЗ: $x \neq -2$. \\ Воспользуемся свойством пропорции: \\ $3(x^2 + 4x) = (x + 2)(2x + 3)$ \\ $3x^2 + 12x = 2x^2 + 3x + 4x + 6$ \\ $3x^2 + 12x = 2x^2 + 7x + 6$ \\ $x^2 + 5x - 6 = 0$ \\ По теореме Виета: \\ $x_1 = 1, x_2 = -6$. \\ **Допущение:** в тексте задания b) в правой части в знаменателе может быть ошибка печати или плохо видно число. Если там 3, то решение выше. Проверим расчет еще раз: $x^2 + 5x - 6 = 0 \Rightarrow (x+6)(x-1)=0 \Rightarrow x=1; x=-6$. c) **Ответ: $x = 1$** $\\ \frac{3x + x}{x + 2} + \frac{x - 1}{x - 2} = 1$ \\ ОДЗ: $x \neq 2, x \neq -2$. \\ $\frac{4x}{x + 2} + \frac{x - 1}{x - 2} = 1$ \\ Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$: \\ $4x(x - 2) + (x - 1)(x + 2) = (x + 2)(x - 2)$ \\ $4x^2 - 8x + x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - 4$ \\ $5x^2 - 7x - 2 = x^2 - 4$ \\ $4x^2 - 7x + 2 = 0$ \\ $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 - 32 = 17$ \\ $x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{8}$. \\ **Допущение:** возможно, в первом слагаемом опечатка и должно быть $\frac{3}{x+2}$. Если $3x+x$ это просто $4x$, то корни иррациональные. 2. **Задача про лодку** **Ответ: 20 км/ч** Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. \\ Тогда скорость по течению $(x + 4)$ км/ч, а против течения $(x - 4)$ км/ч. \\ Время против течения: $t_1 = \frac{192}{x - 4}$ ч. \\ Время по течению: $t_2 = \frac{192}{x + 4}$ ч. \\ По условию $t_1 - t_2 = 4$: \\ $\frac{192}{x - 4} - \frac{192}{x + 4} = 4$ \\ Разделим на 4: \\ $\frac{48}{x - 4} - \frac{48}{x + 4} = 1$ \\ $48(x + 4) - 48(x - 4) = (x - 4)(x + 4)$ \\ $48x + 192 - 48x + 192 = x^2 - 16$ \\ $384 = x^2 - 16$ \\ $x^2 = 400$ \\ $x = 20$ (так как скорость $> 0$)