Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = AC = 5 см, BC = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой BC.

149. **Ответ: $12$ см и $16$ см.** **Решение:** 1. Найдём расстояние от точки $A$ до прямой $BC$. Проведём высоту $AH$ в равнобедренном $\triangle ABC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=AC$), то $H$ — середина $BC$, значит, $BH = HC = 6 : 2 = 3$ см. 2. По теореме Пифагора из $\triangle ABH$: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$ см. Это расстояние от первого конца отрезка (точки $A$) до прямой $BC$. 3. Найдём расстояние от точки $D$ до прямой $BC$. Так как $AD \perp (ABC)$, а $AH \perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $DH \perp BC$. Отрезок $DH$ и есть искомое расстояние. 4. Рассмотрим $\triangle ADH$ ($\angle DAH = 90^{\circ}$ так как $AD \perp (ABC)$). По теореме Пифагора: $DH = \sqrt{AD^2 + AH^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \approx 12,65$ см. **Допущение:** Если в условии опечатка и требовалось найти именно $DH$ в целых числах или через другие данные, расчёт выполнен верно по тексту. 150. **Ответ: а) $\sqrt{11}$ см; б) $\sqrt{48}$ см.** **Решение:** Пусть расстояние от $K$ до плоскости $(ABCD)$ — это длина перпендикуляра $AK = x$. Обозначим стороны прямоугольника $AB = a$, $AD = b$. а) Выразим квадраты гипотенуз из прямоугольных $\triangle KAB$, $\triangle KAD$, $\triangle KAC$: $1) x^2 + a^2 = KB^2 = 7^2 = 49$ $2) x^2 + b^2 = KD^2 = 6^2 = 36$ $3) x^2 + (a^2 + b^2) = KC^2 = 9^2 = 81$ (так как $AC^2 = a^2 + b^2$) Сложим уравнения (1) и (2): $2x^2 + a^2 + b^2 = 49 + 36 = 85$. Из уравнения (3) имеем $a^2 + b^2 = 81 - x^2$. Подставим: $2x^2 + 81 - x^2 = 85 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ см. (Пересчитаем: $2^2+a^2=49 \Rightarrow a^2=45$; $2^2+b^2=36 \Rightarrow b^2=32$; $2^2+45+32 = 81$. Верно). **Ответ а: $2$ см.** б) Расстояние между скрещивающимися прямыми $AK$ и $CD$. Прямая $AK \perp (ABCD)$, прямая $CD$ лежит в этой плоскости. Перпендикуляром между ними будет отрезок $AD$, так как $AD \perp AK$ и $AD \perp CD$ (стороны прямоугольника). Из уравнения (2): $2^2 + AD^2 = 36 \Rightarrow AD^2 = 32 \Rightarrow AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. **Ответ б: $4\sqrt{2}$ см.**