Стороны прямоугольника равны 6 и 10. Через его вершину перпендикулярно диагонали провели прямую. В каком отношении она делит сторону прямоугольника

**Ответ: 9:16 (или 16:9)** **Решение:** 1. Пусть $ABCD$ — прямоугольник, где $AB = 10$, $BC = 6$. Проведём диагональ $AC$. Из вершины $B$ проведём прямую $BK \perp AC$, где точка $K$ лежит на стороне $AD$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$ ($\angle B = 90^\circ$). Проведём в нём высоту $BH$ к гипотенузе $AC$. По свойствам прямоугольного треугольника: $AB^2 = AH \cdot AC$ $BC^2 = CH \cdot AC$ Отсюда $\frac{AH}{CH} = \frac{AB^2}{BC^2} = \frac{10^2}{6^2} = \frac{100}{36} = \frac{25}{9}$. 3. Прямая $BK$ перпендикулярна диагонали $AC$, значит, высота $BH$ треугольника $ABC$ лежит на этой прямой. 4. Рассмотрим $\triangle AKH$ и $\triangle ABC$. Они подобны по двум углам ($\angle A$ — общий, $\angle AHK = \angle ABC = 90^\circ$). Однако проще рассмотреть прямоугольный $\triangle ABK$, где $AH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AK$. По свойству метрических соотношений в $\triangle ABK$: $AB^2 = AH \cdot AK \Rightarrow AK = \frac{AB^2}{AH}$. 5. Из треугольника $ABC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$. $AH = \frac{AB^2}{AC} = \frac{100}{2\sqrt{34}} = \frac{50}{\sqrt{34}}$. 6. Подставим $AH$ в формулу для $AK$: $AK = \frac{100}{\frac{50}{\sqrt{34}}} = 2\sqrt{34}$. Заметим, что в данном случае точка $K$ вылетает за пределы стороны $AD$ (так как $2\sqrt{34} \approx 11.66 > 10$). **Допущение:** В школьных задачах такого типа обычно подразумевается деление той стороны, которую прямая пересекает. По рисунку видно, что прямая выходит из вершины и пересекает смежную сторону (на рисунке это сторона длиной 10). Пусть $AD = 10$, $AB = 6$. Проведем $BK \perp AC$, $K$ лежит на $AD$. В $\triangle ABC$: $AC = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{136}$. Высота $BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{60}{\sqrt{136}}$. В прямоугольном $\triangle ABK$ отрезок $AH$ — проекция катета $AB$ на гипотенузу $AK$: $AB^2 = AH \cdot AK$. $AH = \frac{AB^2}{AC} = \frac{36}{\sqrt{136}}$. $AK = \frac{AB^2}{AH} = \frac{36}{\frac{36}{\sqrt{136}}} = \sqrt{136}$ (снова выход за предел). **Пересчет по подобию для точки на стороне:** Если прямая делит сторону $CD$ (как на чертеже, если считать длинную сторону 10): Отношение отрезков на стороне равно отношению квадратов катетов в подобном треугольнике. $x : (10-x)$ В треугольнике с катетами 6 и 10, проекция катета $a$ на гипотенузу относится к проекции катета $b$ как $a^2 : b^2$. Для стороны 10 отношение частей будет: $x = \frac{6^2}{10} = 3.6$. Вторая часть: $10 - 3.6 = 6.4$. Отношение: $\frac{3.6}{6.4} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}$.