Найдите корень уравнения 1+log₅(2x+17) = 2log₅(x+1). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

**Ответ: 4** **Решение:** Найдите корень уравнения $1 + \log_{5}(2x + 17) = 2\log_{5}(x + 1)$. 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Логарифмируемые выражения должны быть больше нуля: $\begin{cases} 2x + 17 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -8,5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > -1$ 2. **Преобразование уравнения:** Представим единицу как логарифм по основанию 5: $\log_{5}5 + \log_{5}(2x + 17) = \log_{5}(x + 1)^2$ Используем свойство суммы логарифмов (произведение аргументов): $\log_{5}(5(2x + 17)) = \log_{5}(x + 1)^2$ 3. **Переход к квадратному уравнению:** $5(2x + 17) = (x + 1)^2$ $10x + 85 = x^2 + 2x + 1$ $x^2 - 8x - 84 = 0$ 4. **Поиск корней:** По теореме Виета: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = -84 \end{cases}$ Корни: $x_1 = 14$, $x_2 = -6$. 5. **Проверка по ОДЗ:** $x = -6$ не подходит, так как $-6 < -1$. $x = 14$ подходит, так как $14 > -1$. Так как корень один, записываем его в ответ.