Упростите выражение: а) sin^2 α + cos^2 α + tg^2 α; б) tg α * ctg α + 1; в) (sin α + tg α) / (1 + cos α). Докажите тождество: а) cos α = sin α * ctg α; б) (1 + tg α) / (1 + ctg α) = tg α; в) tg^2 α - sin^2 α = tg^2 α * sin^2 α.

1. Упростите выражение: а) Ответ: $\frac{1}{\cos^2 \alpha}$ Решение: Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ б) Ответ: $2$ Решение: Так как $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$, то: $1 + 1 = 2$ в) Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$ Решение: $\frac{\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (\cos \alpha + 1)}{\cos \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$ 2. Докажите тождество: а) $\cos \alpha = \sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha$ Доказательство: $\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha$ $\cos \alpha = \cos \alpha$ (ч. т. д.) б) $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$ Доказательство: $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha}} = (1 + \operatorname{tg} \alpha) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$ $\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha$ (ч. т. д.) в) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$ Доказательство: $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \left( \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 \right) = \sin^2 \alpha \left( \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right) = \sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha$ $\operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$ (ч. т. д.)