34. Равнобедренные треугольники на рисунках а) и б) разрезали на два меньших равнобедренных треугольника. Найдите угол при основаниях этих треугольников. 36. Один угол треугольника равен α. Найдите угол между биссектрисой его второго угла и биссектрисой внешнего угла при третьей вершине.

### Задача 34 **Ответ:** а) $72^{\circ}$, $72^{\circ}$, $36^{\circ}$; б) $36^{\circ}$, $36^{\circ}$, $108^{\circ}$. **Решение:** Равнобедренный треугольник можно разрезать на два равнобедренных только по линии, выходящей из вершины к основанию. а) Пусть углы при основании исходного треугольника равны $x$. После разреза один из получившихся треугольников тоже равнобедренный. Для «золотого» треугольника характерно соотношение углов $72^{\circ}, 72^{\circ}, 36^{\circ}$. Если его разрезать биссектрисой угла при основании, получатся треугольники с углами $(36, 72, 72)$ и $(36, 36, 108)$. б) Если исходный треугольник тупоугольный с углами $108^{\circ}, 36^{\circ}, 36^{\circ}$, то при разрезе из вершины тупого угла на два равнобедренных получим треугольники с углами $(72, 72, 36)$ и $(108, 36, 36)$. ### Задача 36 **Ответ:** $\frac{\alpha}{2}$. **Решение:** 1. Пусть в треугольнике $ABC$ угол $\angle A = \alpha$. Проведем биссектрису угла $\angle B$ и биссектрису внешнего угла при вершине $C$. 2. Пусть $\angle B = \beta$, тогда биссектриса делит его на два угла по $\frac{\beta}{2}$. 3. Внешний угол при вершине $C$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle C_{ext} = \angle A + \angle B = \alpha + \beta$. 4. Биссектриса внешнего угла делит его пополам: $\frac{\alpha + \beta}{2}$. 5. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами. Угол между ними $\gamma$ можно найти из теоремы о внешнем угле для треугольника, образованного биссектрисой угла $B$ и стороной $BC$: $\frac{\alpha + \beta}{2} = \gamma + \frac{\beta}{2}$ $\gamma = \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha}{2}$