Question

Вычислите: а) интеграл от -2/3 до 1 x^3 dx; б) интеграл от 1 до 3 dx/x^2; в) интеграл от -1 до 2 x^4 dx; г) интеграл от 4 до 9 dx/sqrt(x)

Accepted Answer

Для вычисления определенных интегралов воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

а) $\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-\frac{2}{3}}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-\frac{2}{3})^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16}{81 \cdot 4} = \frac{1}{4} - \frac{4}{81} = \frac{81 - 16}{324} = \frac{65}{324}$

б) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = \int_{1}^{3} x^{-2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = -\frac{1}{3} - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

в) $\int_{-1}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{32+1}{5} = \frac{33}{5} = 6,6$

г) $\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$

Вычислите: а) интеграл от -2/3 до 1 x^3 dx; б) интеграл от 1 до 3 dx/x^2; в) интеграл от -1 до 2 x^4 dx; г) интеграл от 4 до 9 dx/sqrt(x)

Ответ ассистента

Другие решения