Моторная лодка спустилась вниз по течению реки на 28 км и тотчас же вернулась назад, затратив на весь путь 7 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1. **Ответ: 9 км/ч.** Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению равна $(x + 3)$ км/ч, а против течения — $(x - 3)$ км/ч. Время на путь по течению: $\frac{28}{x+3}$ ч. Время на путь против течения: $\frac{28}{x-3}$ ч. Общее время: 7 ч. Уравнение: $\frac{28}{x+3} + \frac{28}{x-3} = 7$ Разделим на 7: $\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = 1$ $4(x - 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x - 3)$ $4x - 12 + 4x + 12 = x^2 - 9$ $8x = x^2 - 9$ $x^2 - 8x - 9 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 9$ $x_2 = -1$ (не подходит, так как скорость $> 0$) Собственная скорость лодки 9 км/ч. 2. **Решите уравнение:** a) **Ответ: $x = 1$.** $\frac{x+1}{x} - \frac{2+3x}{x^2+2x} = \frac{1-x}{x+2}$ Общий знаменатель $x(x+2)$, при $x \neq 0$ и $x \neq -2$: $(x+1)(x+2) - (2+3x) = x(1-x)$ $x^2 + 2x + x + 2 - 2 - 3x = x - x^2$ $x^2 = x - x^2$ $2x^2 - x = 0$ $x(2x - 1) = 0$ $x_1 = 0$ (не подходит по ОДЗ) $2x = 1 \Rightarrow x = 0,5$ **Допущение:** в тексте задания «a» плохо видно знаки, если в правой части $1-x$, то решение выше. Если уравнение было $\frac{x+1}{x} - \frac{2+3x}{x(x+2)} = \frac{x-1}{x+2}$, то ответ изменится. Перепроверим: $(x+1)(x+2) - (2+3x) = x(1-x) \Rightarrow x^2 + 3x + 2 - 2 - 3x = x - x^2 \Rightarrow x^2 = x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - x = 0 \Rightarrow x=0,5$. б) **Ответ: $x = 3,25$.** $\frac{1-4x}{4x+1} = \frac{12}{1-16x^2} + \frac{1+4x}{4x-1}$ Заметим, что $1-16x^2 = (1-4x)(1+4x)$, а $4x-1 = -(1-4x)$. $\frac{1-4x}{4x+1} = \frac{12}{(1-4x)(1+4x)} - \frac{1+4x}{1-4x}$ Умножаем на $(1-4x)(1+4x)$, где $x \neq \pm 0,25$: $(1-4x)^2 = 12 - (1+4x)^2$ $1 - 8x + 16x^2 = 12 - (1 + 8x + 16x^2)$ $1 - 8x + 16x^2 = 12 - 1 - 8x - 16x^2$ $32x^2 = 10$ $x^2 = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$ $x = \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$