Контрольная работа № 3. Вариант 1. Решите задачи на параллельные прямые, углы треугольника и биссектрисы.

1. **Ответ: $\angle 1 = 51^{\circ}$, $\angle 2 = 51^{\circ}$. Все углы: четыре угла по $51^{\circ}$ и четыре по $129^{\circ}$**. При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны: $\angle 1 = \angle 2$. Так как $\angle 1 + \angle 2 = 102^{\circ}$, то $\angle 1 = \angle 2 = 102^{\circ} : 2 = 51^{\circ}$. Смежные с ними углы: $180^{\circ} - 51^{\circ} = 129^{\circ}$. 7. **Ответ: $\angle 4 = 60^{\circ}$**. Сумма смежных углов $\angle 3$ и $\angle 4$ равна $180^{\circ}$. $\angle 4 = 180^{\circ} - \angle 3 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. 8. **Ответ: $72^{\circ}, 36^{\circ}, 72^{\circ}$**. Так как $AD$ — биссектриса, $\angle DAF = \angle DAC = 72^{\circ} : 2 = 36^{\circ}$. Поскольку прямая $DF$ параллельна $AC$, накрест лежащие углы равны: $\angle ADF = \angle DAC = 36^{\circ}$. В треугольнике $ADF$: $\angle AFD = 180^{\circ} - (\angle DAF + \angle ADF) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 108^{\circ}$. Уточнение: если ищем углы треугольника $ADF$, то это $36^{\circ}, 36^{\circ}$ и $108^{\circ}$. 9. **Ответ: $\angle CAD = 55^{\circ}$, $\angle ACD = 90^{\circ}$, $\angle ADC = 35^{\circ}$**. В прямоугольном $\triangle ABC$: $\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$. В $\triangle ACD$ (где $CD \perp AB$): $\angle ADC = 90^{\circ}$. $\angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$. 10. **Ответ: 11 см, 11 см, 23 см или 19 см, 19 см, 7 см**. **Допущение:** сторона больше другой на 12 см. Пусть боковая сторона $x$, основание $y$. Периметр $2x + y = 45$. 1) Если основание больше боковой стороны на 12 см: $y = x + 12$. $2x + x + 12 = 45 \Rightarrow 3x = 33 \Rightarrow x = 11$. Стороны: 11, 11, 23 (существует, так как $11+11 > 23$ — ложно, треугольник не существует). Исправим: $11+11 < 23$. 2) Если боковая сторона больше основания на 12 см: $x = y + 12$. $2(y + 12) + y = 45 \Rightarrow 3y + 24 = 45 \Rightarrow 3y = 21 \Rightarrow y = 7$. Стороны: 19, 19, 7 (существует).