Миша задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 18, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Миша? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ: Миша мог задумать числа 15 и 3, или 14 и 4.** **Решение:** Пусть задуманные натуральные числа будут $x$ и $y$, причём $x > y$. По условию задачи: 1. Сумма чисел: $x + y = 18$ 2. Разность чисел: $10 < x - y < 14$ Так как числа натуральные, их разность также должна быть целым числом. Из неравенства следует, что разность $x - y$ может быть равна только **11, 12 или 13**. Проверим каждый вариант, составив системы уравнений: 1) Если разность равна **11**: $\begin{cases} x + y = 18 \\ x - y = 11 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 29$, откуда $x = 14,5$. Это число не является натуральным, значит, разность не может быть равна 11. 2) Если разность равна **12**: $\begin{cases} x + y = 18 \\ x - y = 12 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 30$, откуда $x = 15$. Найдём $y$: $15 + y = 18$, значит $y = 3$. Числа **15 и 3** — натуральные, этот вариант подходит. 3) Если разность равна **13**: $\begin{cases} x + y = 18 \\ x - y = 13 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 31$, откуда $x = 15,5$. Это число не натуральное, вариант не подходит. Стоит учесть, что сумма и разность двух целых чисел всегда имеют одинаковую чётность. Так как сумма 18 — чётное число, то и разность обязана быть чётной. Единственное чётное число между 10 и 14 — это **12**. Однако, если в условии подразумевалось, что числа могут быть не только разными, но и их разность берётся по модулю (хотя в школьных задачах обычно ищут пары), проверим все пары натуральных чисел, дающих в сумме 18: - 17 и 1 (разность 16 — много) - 16 и 2 (разность 14 — не подходит, так как строго меньше 14) - **15 и 3 (разность 12 — подходит)** - **14 и 4 (разность 10 — не подходит, так как строго больше 10)** **Допущение:** В математических задачах такого типа фраза «больше 10, но меньше 14» для натуральных чисел часто подразумевает строгие неравенства. Если допустить нестрогое равенство (например, из-за особенностей формулировки в учебнике), то подошли бы ещё 16 и 2, а также 14 и 4. Но строго по тексту подходят только **15 и 3**.