Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 5, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если ∠AOB = 120°.

Question

Вопрос:

Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 5, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если ∠AOB = 120°.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 5√3 (или ≈ 8,66)** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $AOB$. В нём стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, значит, $OA = OB = 5$. Следовательно, $\triangle AOB$ — равнобедренный. 2. Нам нужно найти расстояние между точками касания $A$ и $B$, то есть длину отрезка $AB$. По условию $\angle AOB = 120^\circ$. 3. По теореме косинусов для $\triangle AOB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(120^\circ)$ $AB^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-0,5)$ $AB^2 = 25 + 25 + 25 = 75$ $AB = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ *Если ты ещё не проходил теорему косинусов, можно решить через высоту:* Проведём высоту $OH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике она является биссектрисой, значит $\angle AOH = 120^\circ / 2 = 60^\circ$. Из прямоугольного $\triangle AOH$: $AH = OA \cdot \sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2,5\sqrt{3}$. Тогда $AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 2,5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 5, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если ∠AOB = 120°.

Ответ ассистента

Другие решения