Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 4, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если ∠AOB = 120°.

**Ответ: 4\sqrt{3}** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 4$ (радиусы окружности). 2. Нам нужно найти расстояние между точками касания, то есть длину хорды $AB$. 3. В равнобедренном треугольнике $AOB$ нам известен угол при вершине $\angle AOB = 120^{\circ}$ и боковые стороны $OA = OB = 4$. 4. Применим теорему косинусов для нахождения стороны $AB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$ $AB^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(120^{\circ})$ 5. Так как $\cos(120^{\circ}) = -0,5$: $AB^2 = 16 + 16 - 32 \cdot (-0,5)$ $AB^2 = 32 + 16 = 48$ $AB = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ Альтернативный способ: провести высоту $OH$ в треугольнике $AOB$. Она будет биссектрисой, значит $\angle AOH = 60^{\circ}$. Тогда в прямоугольном треугольнике $AOH$: $AH = OA \cdot \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Поскольку $H$ — середина $AB$, то $AB = 2 \cdot AH = 4\sqrt{3}$.