Найдите первообразную для функции f(x): a) f(x) = sin x + cos 3x - 2^x

**Ответ:** 2. а) $F(x) = -\cos x + \frac{1}{3} \sin 3x - \frac{2^x}{\ln 2} + C$ б) $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} + \ln|x| + C$ 3. а) $F(x) = 2x^2 + 9$ **Решение:** **Задание 2.** Найдите первообразную для функции $f(x)$: а) $f(x) = \sin x + \cos 3x - 2^x$ Используем правила нахождения первообразных: - Для $\sin x$ первообразная $-\cos x$. - Для $\cos 3x$ используем формулу $\frac{1}{k}\sin(kx)$, получаем $\frac{1}{3}\sin 3x$. - Для показательной функции $a^x$ первообразная $\frac{a^x}{\ln a}$, получаем $-\frac{2^x}{\ln 2}$. Добавляем константу $C$. б) $f(x) = \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$ Перепишем корни в виде степеней: $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$. Применяем формулу для $x^n$: $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. - Для $x^{\frac{1}{2}}$: $\frac{x^{1.5}}{1.5} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$. - Для $x^{\frac{3}{4}}$: $\frac{x^{7/4}}{7/4} = \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}}$. - Для $\frac{1}{x}$ первообразная $\ln|x|$. **Задание 3.** Найдите ту первообразную, график которой проходит через точку $A$: а) $f(x) = 4x, A(2; 17)$ 1. Находим общую первообразную: $F(x) = \int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C$. 2. Подставляем координаты точки $A(2; 17)$, где $x=2, F(x)=17$: $17 = 2 \cdot 2^2 + C$ $17 = 8 + C$ $C = 17 - 8 = 9$ 3. Искомая первообразная: $F(x) = 2x^2 + 9$.