Найдите первообразную для функции f(x): a) f(x) = sin x - cos 2x + 3^x (x принадлежит R); б) f(x) = x^(4/5) - sqrt(x) - 1/x (x > 0). Найдите ту первообразную для функции f(x), график которой проходит через точку A, если: a) f(x) = 3x^2, A(2; 33).

**Ответ:** 2. Нахождение первообразных: а) $F(x) = -\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3^x}{\ln 3} + C$ б) $F(x) = \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \ln|x| + C$ 3. Нахождение конкретной первообразной: а) $F(x) = x^3 + 25$ **Решение:** **2. а)** $f(x) = \sin x - \cos 2x + 3^x$ Для нахождения первообразной используем таблицу интегралов и правила интегрирования: - $\int \sin x dx = -\cos x$ - $\int \cos 2x dx = \frac{1}{2}\sin 2x$ - $\int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3}$ Получаем: $F(x) = -\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3^x}{\ln 3} + C$ **2. б)** $f(x) = x^{\frac{4}{5}} - \sqrt{x} - \frac{1}{x}$ Применим степенное правило $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: - $\int x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{x^{\frac{4}{5} + 1}}{\frac{4}{5} + 1} = \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} = \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}}$ - $\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ - $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$ Получаем: $F(x) = \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \ln|x| + C$ **3. а)** $f(x) = 3x^2$, точка $A(2; 33)$ 1) Найдем общую первообразную: $F(x) = \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$ 2) Подставим координаты точки $A(2; 33)$, где $x=2$ и $F(x)=33$, чтобы найти $C$: $2^3 + C = 33$ $8 + C = 33$ $C = 33 - 8$ $C = 25$ 3) Искомая первообразная: $F(x) = x^3 + 25$