Точка О — центр правильного треугольника ABC, сторона которого равна 6 см. Прямая МА перпендикулярна плоскости ABC. Найдите угол между прямой МО и плоскостью ABC, если МА = 2 см.

**Ответ: 30^{\circ}** **Решение:** 1. Угол между прямой $MO$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Так как $MA \perp (ABC)$, то точка $A$ является проекцией точки $M$. Следовательно, отрезок $AO$ — это проекция $MO$ на плоскость $ABC$. Искомый угол — $\angle MOA$ в прямоугольном треугольнике $MAO$ ($\\angle MAO = 90^{\circ}$). 2. Найдем радиус $AO$ описанной окружности правильного треугольника $ABC$. В правильном треугольнике радиус вычисляется по формуле: $AO = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника. $AO = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ (см). 3. В прямоугольном треугольнике $MAO$ найдем тангенс искомого угла $\alpha$: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{MA}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 4. Так как $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\alpha = 30^{\circ}$.