Вычислите значение выражения: 4/√3 - 8√3/3 * cos^2(7π/12)

**Ответ: 0** Для решения воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. 1. Преобразуем выражение: $\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \cos^2 \frac{7\pi}{12} = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1 + \cos (2 \cdot \frac{7\pi}{12})}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot (1 + \cos \frac{7\pi}{6})$ 2. Вычислим $\cos \frac{7\pi}{6}$: $\cos \frac{7\pi}{6} = \cos (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 3. Подставим значение: $\frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot (1 - (1 + \cos \frac{7\pi}{6})) = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{4 \cdot 3}{6} = \frac{12}{6} = 2$ **Поправочка:** Раскроем скобки аккуратнее: $\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} (1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})) = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = 0 + \frac{4 \cdot 3}{6} = 2$ **Пересчет:** Выражение: $\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{8\sqrt{3}}{3} \cos^2 \frac{7\pi}{12} = \frac{4\sqrt{3}}{3} (1 - 2 \cos^2 \frac{7\pi}{12})$. Используем формулу двойного угла: $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$, значит $1 - 2 \cos^2 \alpha = -\cos 2\alpha$. $\frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot (-\cos (2 \cdot \frac{7\pi}{12})) = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 2$ **Ответ: 2**