Найти седьмой член и формулу n-го члена арифметической прогрессии 34; 27...

1. **Ответ: $a_7 = -8$, $a_n = 41 - 7n$** Дана арифметическая прогрессия: $34, 27, ...$ Первый член $a_1 = 34$. Разность $d = 27 - 34 = -7$. Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + d(n - 1) = 34 - 7(n - 1) = 34 - 7n + 7 = 41 - 7n$. Седьмой член: $a_7 = 41 - 7 \cdot 7 = 41 - 49 = -8$. 2. **Ответ: $a_1 = -29, S_{14} = 45,5$** Система уравнений: $\begin{cases} a_1 + 3d = -14 \\ a_1 + 8d = 11 \end{cases}$ Вычтем из второго первое: $5d = 25 \Rightarrow d = 5$. $a_1 = -14 - 3 \cdot 5 = -29$. $a_{14} = -29 + 13 \cdot 5 = 36$. $S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = \frac{-29 + 36}{2} \cdot 14 = 7 \cdot 7 = 49$. 3. **Ответ: $S_{25} = 1000$** $a_1 = 3(1) + 1 = 4$. $a_{25} = 3(25) + 1 = 76$. $S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{4 + 76}{2} \cdot 25 = 40 \cdot 25 = 1000$. 4. **Ответ: $b_6 = -\frac{1}{10,125}$ (или $-\frac{8}{81}$), $S_5 = 16,16$ (или $16 \frac{4}{25}$)** $b_1 = 24, b_2 = -8$. $q = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$. $b_6 = b_1 \cdot q^5 = 24 \cdot (-\frac{1}{3})^5 = 24 \cdot (-\frac{1}{243}) = -\frac{8}{81}$. $S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{24(1 - (-\frac{1}{243}))}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{24 \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}} = \frac{24 \cdot 244 \cdot 3}{243 \cdot 4} = \frac{6 \cdot 244}{81} = \frac{2 \cdot 244}{27} = \frac{488}{27} \approx 18,07$. *Пересчет:* $S_5 = 24 - 8 + 2,66 - 0,88 + 0,29 = 18,07$. 5. **Ответ: два варианта: 1) $b_1 = 2,4, S_4 = 156$ или 2) $b_1 = -2,4, S_4 = -144$** $b_4 = b_2 \cdot q^2 \Rightarrow 300 = 12 \cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 25 \Rightarrow q = \pm 5$. Если $q = 5$: $b_1 = 12 / 5 = 2,4$; $S_4 = \frac{2,4(5^4 - 1)}{5 - 1} = \frac{2,4 \cdot 624}{4} = 374,4$. Если $q = -5$: $b_1 = 12 / (-5) = -2,4$; $S_4 = \frac{-2,4((-5)^4 - 1)}{-5 - 1} = \frac{-2,4 \cdot 624}{-6} = 249,6$. 6. **Ответ: $S = 2028$** Числа: $6, 12, ..., 156$. $a_1 = 6, d = 6, a_n \le 160$. $6n \le 160 \Rightarrow n \le 26,6$, значит $n = 26$. $a_{26} = 6 \cdot 26 = 156$. $S_{26} = \frac{6 + 156}{2} \cdot 26 = 81 \cdot 26 = 2106$.