Решите логарифмические уравнения: 1. log1/7(7x-3) = log1/7(5x+11); 2. log8(5-x) = 2; 3. log1/3(4+5x) = -2; 4. log3 x = 2log3 6 + log3 5; 5. log3(x+1) + log3(x+3) = 1; 6. log5^2 x - log5 x = 2.

**Ответ:** 1. **$x = 7$** 2. **$x = -59$** 3. **$x = 1$** 4. **$x = 180$** 5. **$x = 0$** 6. **$x_1 = 25, x_2 = \frac{1}{5}$** **Решение:** 1. $\log_{\frac{1}{7}}(7x - 3) = \log_{\frac{1}{7}}(5x + 11)$ Так как основания одинаковы, приравниваем аргументы: $7x - 3 = 5x + 11$ $2x = 14$ $x = 7$ Проверка ОДЗ: $7 \cdot 7 - 3 > 0$ и $5 \cdot 7 + 11 > 0$ — верно. 2. $\log_8(5 - x) = 2$ По определению логарифма: $5 - x = 8^2$ $5 - x = 64$ $x = 5 - 64$ $x = -59$ 3. $\log_{\frac{1}{3}}(4 + 5x) = -2$ $4 + 5x = (\frac{1}{3})^{-2}$ $4 + 5x = 3^2$ $4 + 5x = 9$ $5x = 5$ $x = 1$ 4. $\log_3 x = 2\log_3 6 + \log_3 5$ Используем свойства логарифмов: $n\log a = \log a^n$ и $\log a + \log b = \log(ab)$. $\log_3 x = \log_3 6^2 + \log_3 5$ $\log_3 x = \log_3(36 \cdot 5)$ $\log_3 x = \log_3 180$ $x = 180$ 5. $\log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1$ ОДЗ: $x > -1$. $\log_3((x + 1)(x + 3)) = 1$ $(x + 1)(x + 3) = 3^1$ $x^2 + 4x + 3 = 3$ $x^2 + 4x = 0$ $x(x + 4) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = -4$ (не подходит по ОДЗ). 6. $\log_5^2 x - \log_5 x = 2$ Замена: $t = \log_5 x$. $t^2 - t - 2 = 0$ Корни по теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. 1) $\log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25$ 2) $\log_5 x = -1 \Rightarrow x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$