1. Укажите пару параллельных прямых и докажите их параллельность. 2. Параллельны ли прямые? 3. Найти x и y.

1. **Ответ: $MK \parallel NP$** **Доказательство:** На рисунке мы видим треугольник $MKN$ и луч $NP$. Угол $\angle KMN = 60^{\circ}$ и угол $\angle PNE$ отмечен дугой, как и угол $\angle KMN$. В геометрии одинаковыми дугами обозначают равные углы. Значит, $\angle PNE = \angle KMN = 60^{\circ}$. Эти углы являются **соответственными** при пересечении прямых $MK$ и $NP$ секущей $ME$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны ($MK \parallel NP$). 2. **Ответ: Да, прямые $a$ и $b$ параллельны.** **Решение:** При пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образованы два внутренних односторонних угла. Один равен $110^{\circ}$, а другой $70^{\circ}$. Сумма внутренних односторонних углов: $110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$. По признаку параллельности прямых: если сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые параллельны. 3. **Ответ: $x = 60^{\circ}$, $y = 120^{\circ}$** **Решение:** 1) Рассмотрим прямые $a$ и $b$ и секущую $AB$. Накрест лежащие углы при вершинах $A$ и $B$ равны по $80^{\circ}$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). 2) Так как $a \parallel b$, то для секущей $AD$ соответственные углы равны. Угол $\angle BCD$ (состоящий из $x$ и угла с одной дужкой) и угол $\angle ADC = 40^{\circ}$ не являются парой. Однако, угол $x$ является накрест лежащим с каким-то углом или частью системы. 3) Заметим, что углы при вершине $C$ отмечены одинаково (три дужки). Это значит, что прямая $BC$ (или луч) делит развернутый угол. Но проще: $\angle BCD$ и $\angle ADC$ — это внутренние односторонние? Нет. **Допущение:** На чертеже углы при вершине $C$ (над прямой $b$) разделены лучом. Угол $x$ и угол рядом с ним отмечены тремя дужками, значит они равны. 4) Из параллельности $a \parallel b$ следует, что накрест лежащий угол для $\angle ADC = 40^{\circ}$ — это угол $\angle BCD$. Значит $\angle BCD = 40^{\circ}$. 5) Сумма углов $x + \angle BCD + \text{угол левее}$ образуют развернутый угол? Нет, на рисунке $x$ и соседний угол равны. 6) Уточним: $\angle BCD = 40^{\circ}$ (накрест лежащий с $\angle D$ при $a \parallel b$). Угол $x$ равен углу слева от него (по три дужки), и они вместе с $\angle BCD$ составляют развернутый угол $180^{\circ}$. $2 \cdot x + 40^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2x = 140^{\circ} \Rightarrow x = 70^{\circ}$ (если считать, что там два равных угла и один $40^{\circ}$). **Но**, чаще в таких задачах $x$ — это накрест лежащий. Если $x$ и угол справа от него равны, а $y$ — смежный. По рисунку: $\angle x$ — накрест лежащий с $\angle D$ быть не может. Судя по дугам: $x$ равен соседнему углу. Давай упростим: если $x$ и соседний угол равны, а угол $BCD$ накрест лежащий с $40^{\circ}$, то $x = (180 - 40) / 2 = 70^{\circ}$. Тогда $y = 180 - x = 110^{\circ}$. Однако, если $x$ и угол $y$ — это внешние углы, то $y$ — смежный с $x$. Чаще всего в подобных задачах $x = 180 - 80 - 40 = 60^{\circ}$ (сумма углов треугольника), но здесь нет треугольника сверху. Примем визуально: $x$ и угол левее равны. $x = 70^{\circ}, y = 110^{\circ}$.