Решите систему уравнений 5x^2 + y = 12, 9x^2 - y = 2. Свежие фрукты содержат 95% воды, а высушенные — 22%. Сколько сухих фруктов получится из 858 кг свежих фруктов? Постройте график функции y = (x-3)/(x^2-3x).

**20. Ответ: (1; 7), (-1; 7)** Решим систему методом сложения: $\begin{cases} 5x^2 + y = 12 \\ 9x^2 - y = 2 \end{cases}$ Сложим уравнения: $5x^2 + 9x^2 + y - y = 12 + 2$ $14x^2 = 14$ $x^2 = 1$ $x_1 = 1, x_2 = -1$ Подставим $x^2 = 1$ в первое уравнение: $5(1) + y = 12$ $y = 12 - 5$ $y = 7$ **21. Ответ: 55 кг** 1) Найдем массу сухого вещества в свежих фруктах: Свежие фрукты содержат $100\% - 95\% = 5\%$ сухого вещества. $858 \cdot 0,05 = 42,9$ (кг). 2) В высушенных фруктах сухое вещество составляет $100\% - 22\% = 78\%$. 3) Найдем массу высушенных фруктов: $42,9 : 0,78 = 55$ (кг). **22. Ответ: k = 1/9; k = -1/3** Упростим функцию: $y = \frac{x - 3}{x(x - 3)} = \frac{1}{x}$ при условии $x \neq 0$ и $x \neq 3$. График — гипербола с выколотой точкой $(3; 1/3)$. Прямая $y = kx$ имеет одну общую точку с графиком, если она проходит через выколотую точку или касается гиперболы (здесь касания нет, так как $1/x = kx$ дает $kx^2 = 1$, что имеет решения при $k > 0$, но прямая $y=kx$ пересекает гиперболу в двух точках или не пересекает вовсе). Единственная общая точка будет, когда прямая проходит через выколотую точку $(3; 1/3)$: $1/3 = k \cdot 3 \Rightarrow k = 1/9$. Также прямая не должна иметь других точек пересечения. При $k < 0$ решений уравнения $kx^2 = 1$ нет, но если прямая проходит через выколотую точку, то точка пересечения всего одна. :::div .chart-container @chart-1::: **23. Ответ: 13,84** (или $\frac{180}{13}$) 1) Гипотенуза $c = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39$. 2) Высота $h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{15 \cdot 36}{39} = \frac{15 \cdot 12}{13} = \frac{180}{13} \approx 13,84$. **24. Доказательство:** Пусть $BC = a$, тогда $CD = 2a$. Так как $N$ — середина $CD$, то $CN = ND = a$. Следовательно, в $\triangle BCN$ стороны $BC = CN = a$, значит $\triangle BCN$ — равнобедренный. Тогда $\angle CBN = \angle CNB$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AD \parallel BC$, следовательно $\angle CNB = \angle NBa$ (накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ — неверно, используем $CD \parallel AB$). $\angle CNB = \angle NBa$ (накрест лежащие при $CD \parallel AB$ и секущей $BN$). Получаем $\angle CBN = \angle ABN$, значит $BN$ — биссектриса $\angle ABC$. Что и требовалось доказать. **25. Ответ: 14** В $\triangle ABC$ точка $O$ — центр описанной окружности. $OA = OC = R$. $\triangle AOC$ равнобедренный. Пусть $\angle OAC = \angle OCA = \alpha$. Прямая $BD \perp AO$, значит в $\triangle ABD$ угол $\angle ADB$ связан с расположением. Используя свойства вписанных углов и подобие треугольников, можно найти, что $CD = \frac{AC \cdot AB}{2 \cdot AC}$ (требует громоздких вычислений). Применим свойство: $CD = AC - AD$. Из подобия $\triangle ABD \sim \triangle ABC$ (по двум углам, так как $BD \perp AO$), $CD = AC - \frac{AB^2}{AC} = 56 - \frac{28^2}{56} = 56 - \frac{784}{56} = 56 - 14 = 42$. (Исправление: $AD = \frac{AB^2}{AC}$ при условии перпендикулярности к радиусу). Верный расчет: $AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{28^2}{56} = 14$. Тогда $CD = 56 - 14 = 42$.