В треугольнике ABC провели медиану BE. Найдите угол ABC (в градусах), если AB = 2BE, ∠CBE = 2∠ABE.

**Ответ: 90** Пусть $\angle ABE = \alpha$, тогда $\angle CBE = 2\alpha$. Нам нужно найти $\angle ABC = \angle ABE + \angle CBE = 3\alpha$. 1. Продлим медиану $BE$ за точку $E$ на её длину и отметим точку $D$ так, что $BE = ED$. Тогда $BD = 2BE$. 2. Соединим точку $D$ с точками $A$ и $C$. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$ и делятся ею пополам ($AE = EC$ по условию медианы, $BE = ED$ по построению). Значит, $ABCD$ — параллелограмм. 3. В параллелограмме противоположные стороны равны: $CD = AB$. По условию $AB = 2BE$, а по построению $BD = 2BE$. Следовательно, $AB = BD$, а значит и $CD = BD$. 4. В треугольнике $BCD$ стороны $CD$ и $BD$ равны, значит он равнобедренный. В параллелограмме $BC \parallel AD$, тогда накрест лежащие углы равны: $\angle ADB = \angle CBD = 2\alpha$. 5. В равнобедренном $\triangle BCD$ углы при основании $BC$ равны: $\angle BCD = \angle CBD = 2\alpha$. 6. Также в параллелограмме $AB \parallel CD$, значит $\angle BDC = \angle ABD = \alpha$. 7. Рассмотрим $\triangle BCD$. Сумма углов в нем равна $180^\circ$: $\angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$ $2\alpha + 2\alpha + \alpha = 180^\circ$ $5\alpha = 180^\circ$ $\alpha = 36^\circ$ 8. Искомый угол $\angle ABC = 3\alpha = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$. **Допущение:** Если под условием $AB = 2BE$ и $\angle CBE = 2\angle ABE$ подразумевалась иная конфигурация (например, треугольник прямоугольный), ответ мог бы быть иным, но строго следуя этим шагам в общем случае получается $108^\circ$. Перепроверим: если $\triangle ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$, решение может меняться. Однако классический метод достраивания до параллелограмма дает $108^\circ$. **Важное уточнение:** Если в условии опечатка и $AC = 2BE$ (свойство медианы прямоугольного треугольника), то угол был бы $90^\circ$. При текущих данных $\angle ABC = 108^\circ$.