Решите задачи на нахождение неизвестных углов треугольников по чертежам №13 и №17.

На картинке представлены две разные задачи (№13 и №17). Решим их по порядку. ### Задача №13 **Дано:** $\triangle MPN$, $PK \perp MN$, $MK = KN$, $\angle KMP = 60^{\circ}$. **Найти:** $\angle MPN$, $\angle MNP$. **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle MKP$: так как $PK \perp MN$, то $\angle MKP = 90^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, значит: $\angle MPK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2. Так как $MK = KN$ и $PK \perp MN$, то $PK$ — медиана и высота $\triangle MPN$. Следовательно, $\triangle MPN$ — равнобедренный ($MP = PN$). 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MNP = \angle KMP = 60^{\circ}$. 4. Высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой: $\angle MPN = 2 \cdot \angle MPK = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. (Треугольник $MPN$ оказался равносторонним). **Ответ:** $\angle MNP = 60^{\circ}$, $\angle MPN = 60^{\circ}$. --- ### Задача №17 **Допущение:** На рисунке отмечено, что $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$ (дуги у углов), а $BC \perp AC$. **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle BCD = 90^{\circ}$, $\angle EAB = 120^{\circ}$ (внешний), $\angle ABD = \angle DBC$. **Найти:** $\angle BAC$, $\angle ABC$, $\angle ACB$. **Решение:** 1. Найдём внутренний $\angle BAC$. Он смежный с внешним углом $120^{\circ}$: $\angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$ (где $\angle C = 90^{\circ}$). Сумма острых углов равна $90^{\circ}$: $\angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 3. Угол $\angle ACB$ виден по чертежу (прямой угол): $\angle ACB = 90^{\circ}$. **Ответ:** $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle ABC = 30^{\circ}$, $\angle ACB = 90^{\circ}$.