**1. Найдите значение выражения 4,5 * 4,8 + 0,8.**
**Ответ: 22,4**
1) $4,5 \cdot 4,8 = 21,6$
2) $21,6 + 0,8 = 22,4$
**2. Решите уравнение $2x^2 + 15 - 3x = 11x - 5$.**
**Ответ: 25**
Перенесем всё в левую часть: $2x^2 - 14x + 20 = 0$. Разделим на 2: $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Корни по теореме Виета: $x_1 = 2, x_2 = 5$.
Запись без пробелов: **25**.
**3. Одно из натуральных чисел на 5 меньше второго, а произведение этих чисел равно 126. Найдите эти числа.**
**Ответ: 914**
Пусть числа $x$ и $x+5$. Тогда $x(x+5) = 126 \Rightarrow x^2 + 5x - 126 = 0$.
$D = 25 - 4 \cdot (-126) = 25 + 504 = 529 = 23^2$.
$x = \frac{-5 + 23}{2} = 9$. Второе число: $9 + 5 = 14$.
Запись без пробелов: **914**.
**4. На координатной прямой отмечены числа a, 0, b. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы выполнялись условия: $-x + a < 0, x - b > 0, abx < 0$.**
**Ответ: x должен быть правее b.**
1) $-x + a < 0 \Rightarrow x > a$.
2) $x - b > 0 \Rightarrow x > b$.
3) Из рисунка $a < 0 < b$, значит $ab < 0$. Чтобы $abx < 0$, нужно $x > 0$.
Так как $b > a$ и $b > 0$, условие $x > b$ удовлетворяет всем неравенствам. Поставьте точку $x$ в любом месте правее точки $b$.
**5. Установите соответствие между утверждениями и промежутками.**
**Ответ: 42**
А) Функция возрастает на промежутке: от вершины влево. На графике это до $x \approx 2,5$. Подходит промежуток [1; 4] (ошибка в условии, скорее всего имелось в виду до 2). Но по картинке рост идет на 4) [1; 4] — неверно. Посмотрим 2) [-1; 1] — тут растет.
Б) Функция убывает на промежутке: после вершины (правее 2,5). Подходит 3) [2; 4] или 1) [0; 3].
Уточнение по графику: вершина в $x=2$. Возрастает при $x < 2$, убывает при $x > 2$.
А) Возрастает: подходит 4) [1; 4] (не подходит), 2) [-1; 1] — подходит.
Б) Убывает: подходит 3) [2; 4].
**А - 2, Б - 3. Ответ: 23** (исправлено после анализа).
**6. Отметьте на координатной прямой число $2\sqrt{31}$.**
**Ответ: точка между 11 и 12, ближе к 11.**
$2\sqrt{31} = \sqrt{4 \cdot 31} = \sqrt{124}$.
Так как $11^2 = 121$, а $12^2 = 144$, то $\sqrt{124}$ находится чуть правее числа 11.
**7. Найдите значение выражения $\frac{p^2-q^2}{(p-q)^2} \cdot \frac{p^2+q^2}{(p+q)^2}$ при $p = \sqrt{6}, q = 2\sqrt{2}$.**
**Ответ: -7**
Упростим: $\frac{(p-q)(p+q)}{(p-q)^2} \cdot \frac{p^2+q^2}{(p+q)^2} = \frac{p^2+q^2}{(p-q)(p+q)} = \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}$.
$p^2 = 6, q^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
Подставим: $\frac{6+8}{6-8} = \frac{14}{-2} = -7$.
**8. Вероятность того, что спортсмен Н. будет выступать в последний день.**
**Ответ: 0,36**
Всего 50 выступлений. В 1-й день — 14. Осталось $50 - 14 = 36$ на 2-й и 3-й дни.
Поровну: $36 / 2 = 18$ выступлений в 3-й день.
Вероятность: $P = \frac{18}{50} = \frac{36}{100} = 0,36$.
**9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 17, $\sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Найдите BC.**
**Ответ: 34**
$\\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \Rightarrow \cos^2 A = 1 - \frac{20}{25} = \frac{5}{25} \Rightarrow \cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
$\\text{tg } A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{2\sqrt{5}}{5} : \frac{\sqrt{5}}{5} = 2$.
В прямоугольном треугольнике $\text{tg } A = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \text{tg } A = 17 \cdot 2 = 34$.
**10. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.**
**Ответ: 24**
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали: $6 / 2 = 3$.
По теореме Пифагора половина второй диагонали: $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$.
Вся вторая диагональ: $4 \cdot 2 = 8$.
Площадь $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.
