Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через данную точку

Для нахождения конкретной первообразной $F(x)$, график которой проходит через точку $A(x_0; y_0)$, нужно сначала найти общий вид первообразных $F(x) + C$, а затем подставить координаты точки для нахождения константы $C$. **Левый столбец:** **а) $f(x) = 3x^2 - 4x + 2, A(-1; 0)$** 1. Находим общий вид первообразной: $F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = x^3 - 2x^2 + 2x + C$ 2. Подставляем координаты точки $A(-1; 0)$: $0 = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 2(-1) + C$ $0 = -1 - 2 - 2 + C$ $0 = -5 + C \Rightarrow C = 5$ **Ответ: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 5$** **б) $f(x) = \cos \frac{x}{2}, A(\frac{\pi}{3}; 1)$** 1. Находим общий вид первообразной: $F(x) = 2 \sin \frac{x}{2} + C$ 2. Подставляем координаты точки $A(\frac{\pi}{3}; 1)$: $1 = 2 \sin (\frac{\pi}{3} : 2) + C$ $1 = 2 \sin \frac{\pi}{6} + C$ $1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + C$ $1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$ **Ответ: $F(x) = 2 \sin \frac{x}{2}$** **Правый столбец:** **а) $f(x) = 4 + 2x - 6x^2, A(-2; 0)$** 1. Находим общий вид первообразной: $F(x) = 4x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 4x + x^2 - 2x^3 + C$ 2. Подставляем координаты точки $A(-2; 0)$: $0 = 4(-2) + (-2)^2 - 2(-2)^3 + C$ $0 = -8 + 4 + 16 + C$ $0 = 12 + C \Rightarrow C = -12$ **Ответ: $F(x) = -2x^3 + x^2 + 4x - 12$** **б) $f(x) = \sin 3x, A(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{3})$** 1. Находим общий вид первообразной: $F(x) = -\frac{1}{3} \cos 3x + C$ 2. Подставляем координаты точки $A(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{3})$: $\frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \cos (3 \cdot \frac{\pi}{3}) + C$ $\frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \cos \pi + C$ $\frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \cdot (-1) + C$ $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = 0$ **Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3} \cos 3x$**